Đáp án:

a) $BH=AK$

b) $\triangle HBM=\triangle KAM$

c) $\triangle MHK$ vuông cân tại M

Giải thích các bước giải:

a)

$\triangle BAH$ vuông tại H:

$\widehat{ABH}+\widehat{BAH}=90^o$ (2 góc phụ nhau)

$\triangle BAC$ vuông tại A:

$\widehat{BAH}+\widehat{HAC}=90^o$ (2 góc phụ nhau)

$\to\widehat{ABH}=\widehat{HAC}$

Xét $\triangle BAH$ và $\triangle ACK$:

$\widehat{BHA}=\widehat{AKC}\,\,\,(=90^o)$

$BA=AC$ (gt)

$\widehat{ABH}=\widehat{CAK}$ (cmt)

$\to\triangle BAH=\triangle ACK$ (ch - gn)

$\to BH=AK$ (2 cạnh tương ứng)

b)

$\triangle ABC$ vuông cân tại A có đường trung tuyến AM (gt)

$\to AM=BM=CM=\dfrac{1}{2}BC$

$\to$ AM đồng thời là đường cao

$\to AM\bot BC$

$\triangle BHE$ vuông tại H:

$\widehat{HBE}+\widehat{BEH}=90^o$ (2 góc phụ nhau)

$\triangle AME$ vuông tại M:

$\widehat{MAE}+\widehat{MEA}=90^o$ (2 góc phụ nhau)

$\to\widehat{HBE}=\widehat{MAE}$

Xét $\triangle HBM$ và $\triangle KAM$:

$BH=AK$ (cmt)

$\widehat{HBM}=\widehat{KAM}$ (cmt)

$BM=AM$ (cmt)

$\to\triangle HBM=\triangle KAM$ (c.g.c)

c)

$\triangle HBM=\triangle KAM$ (cmt)

$\to MH=MK$ (2 cạnh tương ứng)

$\to\triangle MHK$ cân tại M

$\to\widehat{BHM}=\widehat{AKM}$ (2 góc tương ứng)

Ta có:

$\widehat{BHM}+\widehat{KHM}=\widehat{BHK}=90^o$

$\to\widehat{AKM}+\widehat{KHM}=90^o$

Hay $\widehat{HKM}+\widehat{KHM}=90^o$

$\to\widehat{HMK}=180^o-(\widehat{HKM}+\widehat{KHM})=180^o-90^o=90^o$

$\to\triangle MHK$ vuông cân tại M