` a) `

` x^2 - 2. (k - 1). x - 4k = 0 `

`\Delta' = (1 - k)^2 - (-4k) `

            `= 1 - 2k + k^2 + 4k `

            `= k^2 + 2k + 1`

            `= (k + 1)^2 `

` ->\Delta' \ge 0 \forall k `

`->` Pt luôn có `2` nghiệm ` \forall k `

$\\$

$\\$

$\\$

`b)`

Theo Vi-ét: $\begin{cases} S = x_1 + x_2 = 2k - 2\\P = x_1. x_2 = -4k \end{cases}$

Mà để:  ` 3x_1 - x_2 = 2 ` 

Kết hợp với ` S` ta được hệ pt:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = 2k - 2\\3x_1 - x_2 = 2 \end{cases}$ 

` <=> ` $\begin{cases} 4x_1 = 2k\\x_1 + x_2 = 2k - 2 \end{cases}$

` <=> ` $\begin{cases} x_1 = \dfrac{k}{2}\\x_2 = 2k - 2 - x_1 \end{cases}$

` <=> ` $\begin{cases} x_1 = \dfrac{k}{2}\\x_2 = \dfrac{3k - 4}{2} \end{cases}$

Thay các giá trị ` x_1 ; x_2` tìm được vào `P` ta có:

` k/2 * {3k - 4}/2 = -4k `

` <=> {3k^2 - 4k}/2 = -4k `

` <=> 3k^2 - 4k = 2. (-4k) `

` <=> 3k^2 - 4k + 8k = 0 `

` <=> 3k^2 + 4k =0 `

` \Delta' = 2^2 - 3. 0 = 4 `

` -> \Delta' > 0 `

`->` Pt có `2` nghiệm phân biệt

`k_1 = {-2 + 2}/3 = 0`

`k_2 = {-2 - 2}/3 = -4/3 `

Vậy các giá trị ` k ` cần tìm là `0` và `-4/3` 

Đáp án+Giải thích các bước giải:

`a.` `x²-2(k-1)x-4k=0`

Có: `a=1;b=-2(k-1)=2(1-k)` `(b'=1-k);c=-4k`

`Δ'=(1-k)²-1.(-4k)`

  `=1-2k+k²+4k`

  `=k²+2k+1`

  `=(k+1)²`

Vì `(k+1)²\ge0∀k`

⇒ Phương trình luôn có nghiệm với mọi `k`

`b.`

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì:

`Δ'>0`

`⇔(k+1)²>0`

`⇔k+1\ne0`

`⇔k\ne -1`

Theo định lý vi-ét, ta có:

`x_1+x_2=2(k-1)=2k-2`  `(I)`

`x_1x_2=-4k`  `(II)`

Ta có: `3x_1-x_2=2`  `(III)`

Với `(I)` và `(III)`, ta có hệ phương trình:

$\begin{cases} x_1+x_2=2k-2\\3x_1-x_2=2 \end{cases}$

$⇔\begin{cases} 4x_1=2k\\3x_1-x_2=2 \end{cases}$

$⇔\begin{cases} x_1=\dfrac{k}{2}\\\dfrac{3k}{2}-x_2=2 \end{cases}$

$⇔\begin{cases} x_1=\dfrac{k}{2}\\x_2=\dfrac{3k-4}{2} \end{cases}$

Thay `x_1= k/2` và `x_2=\frac{3k-4}{2}` vào `(II)`,ta được:

`k/2 . (3k-4)/2=-4k`

`⇔3k²-4k=-16k`

`⇔19k²-4k=0`

`⇔k(19k-4)=0`

$⇔\left[ \begin{array}{l}k=0\\19k-4=0\end{array} \right.$

$⇔\left[ \begin{array}{l}k=0\text{(tm)}\\k= \dfrac{4}{19} \text{(tm)}\end{array} \right.$

Vậy `k= 4/19 ;0` thỏa mãn đề bài

$-kknot-$