$\text{Đáp án:}$

$\text{S không phải là số chính phương}$

$\text{Giải thích các bước giải:}$

$\text{S= abc+bca+cab}$
$\text{=(100a+10b+c)+(100b+10c+a)+(100c+10a+b)}$
$\text{=(100a+100b+100c)+(10a+10b+10c)+(a+b+c)}$
$\text{=100(a+b+c)+10(a+b+c)+(a+b+c)}$
$\text{=(a+b+c).111}$
$\text{ =(a+b+c).3.37}$
$\text{ vì a; b; c nhỏ hơn hoặc bằng 9 nên a+b+c nhỏ hơn hoặc bằng 27}$
$\text{ => (a+b+c).3 nhỏ hơn hoặc bằng 27.3=81}$
$\text{ giả sử S là số chính phương}$
$\text{ mà 37 là số nguyên tố và (a+b+c).3 nhỏ hơn hoặc bằng 81}$
$\text{ => (a+b+c).3 phải bằng 37 để S=37.37=37² }$
$\text{mà 37 là số nguyên tố}$
$\text{=>a,b,c không phải là số tự nhiên}$
$\text{=> S không phải là số chính phương}$

Ta có: S = abc + bca + cab

⇒ S = 100a + 10b + c + 100b + 10c + a + 100c + 10a + b

⇒ S = 111a + 111b + 111c

⇒ S = 111(a + b + c)

Để S là số chính phương thì a + b + c = 111

Mà 1 ≤ a ≤ 9

      1 ≤ b ≤ 9

      1 ≤ c ≤ 9

⇒ 3 ≤ a + b + c ≤ 27

⇒ a + b + c$\neq$ 111

⇒ S không phải là số chính phương (đpcm)