$(xy + yz + xz )\cdot\left[\dfrac{1}{(x+y)^2}+ \dfrac{1}{(y+z)^2} + \dfrac{1}{(z+x)^2}\right] \geq \dfrac94$

Không làm mất tính tổng quát, giả sử $x\geq y \geq z$

Ta có bất đẳng thức phụ:

$\dfrac{1}{(x+y)^2}+ \dfrac{1}{(y+z)^2} + \dfrac{1}{(z+x)^2}\geq \dfrac{1}{4xy} +\dfrac{2}{(x+z)(y+z)}$

Dễ dàng chứng minh bất đẳng thức phụ bằng phép biến đổi tương đương:

$\dfrac{1}{(x +z)^2} +\dfrac{1}{(y+z)^2} -\dfrac{2}{(x+z)(y+z)}\geq \dfrac{1}{4xy} -\dfrac{1}{(x+y)^2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{(x-y)^2}{(x+z)^2(y+z)^2}\geq \dfrac{(x-y)^2}{4xy(x+y)^2}$

Hiển nhiên đúng vì:

$\quad \begin{cases}4xy \geq 4y^2 \geq (y+z)^2\\(x+y)^2 \geq (x+z)^2\end{cases}$

Do đó, ta cần chứng minh:

$(xy + yz + zx)\cdot\left[\dfrac{1}{4xy} +\dfrac{2}{(x+z)(y+z)}\right]\geq \dfrac94$

$\Leftrightarrow \dfrac{xy+yz+zx}{4xy} +\dfrac{2(xy + yz + zx)}{(x+z)(y+z)}\geq \dfrac94$

$\Leftrightarrow \dfrac14 +\dfrac{z(x+y)}{4xy} + 2 -\dfrac{2z^2}{(x+z)(y+z)}\geq \dfrac{9}{4}$

$\Leftrightarrow \dfrac{z(x+y)}{4xy} \geq \dfrac{2z^2}{(x+z)(y+z)}$

$\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(z+x)\geq 8xyz$

Bất đẳng thức trên đúng theo bất đẳng thức $AM-GM$

Do đó bất đẳng thức được chứng minh

______________________________________

Ngoài ra, bài toán của $Ji\, Chen$ còn nhiều cách giải khác:

- Biến đổi tương đương

- Phép thế Ravi

- Áp dụng bất đẳng thức $Schur$

- $\dots$

Đáp án+Giải thích các bước giải: