a, Xét ΔMKN và ΔQMN ta có:

$\widehat{N}$ chung

$\widehat{MKN}$ = $\widehat{QMN}$ = $90^{0}$ 

⇒ ΔMKN $\backsim$ ΔQMN [g - g]

⇒ $\frac{MN}{QN}$ = $\frac{NK}{MN}$ [tính chất của hai tam giác đồng dạng]

hay MN² = QN.NK [1]

b, Áp dụng định lý Py-ta-go vào ΔQMN vuông tại M

⇒ QN² = MQ² + MN²

Thay MQ = 5cm; MN = 12cm

⇔ QN² = 5² + 12²

⇔ QN² = 169

⇔ QN = 13 cm

Từ [1]

⇒ NK = $\frac{MN^{2} }{QN}$ 

Thay MN = 12cm; QN = 13cm

⇔ NK = $\frac{12^{2} }{13}$ 

⇔ NK = $\frac{144 }{13}$ cm

 Có ΔMKN $\backsim$ ΔQMN [cmt]

⇒ $\frac{MK}{QM}$ = $\frac{KN}{MN}$ = $\frac{MN}{QN}$ = $\frac{12}{13}$ 

[Do MN = 12cm; QN = 13cm và theo tính chất ở hai tam giác đồng dạng ]

Từ đây, theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{MK}{QM}$ = $\frac{KN}{MN}$ = $\frac{MN}{QN}$ = $\frac{MK + KN+MN}{QM+MN+QN}$ = $\frac{P_{KNM}}{P_{MNQ}}$ = $\frac{12}{13}$ 

hay $\frac{P_{MNQ}}{P_{KNM}}$ = $\frac{13}{12}$ 

hình không chính xác tuyệt đối

`a)`

`MNPQ` là hình chữ nhật `=>\hat{NMQ}=90°`

`MK⊥NQ=>\hat{MKN}=90°`

Vì `\hat{NMQ}=90°` và `\hat{MKN}=90°` nên `\hat{NMQ}=\hat{MKN}(=90°)`

Xét `ΔMNQ` và `ΔKNM` có:

`\hat{NMQ}=\hat{MKN}(=90°)(cmt)`

`\hat{N}` chung

Do đó: `ΔMNQ`$\backsim$`ΔKNM(gg)` 

`=>(MN)/(KN)=(NQ)/(NM)`

`=>MN.MN=NK.QN`

hay `MN^2=NK.QN`

Vậy...

`b)`

Xét `ΔMNQ` vuông tại `M`, theo định lí `Pytago` ta có:

`QN=\sqrt{MN^2+MQ^2}`

`QN=\sqrt{12^2+5^2}`

`QN=\sqrt{169}`

`QN=13(cm)`

Theo `a`: `MN^2=NK.QN`

`=>NK=(MN^2)/(QN)`

`=>NK=(12^2)/(13)`

`=>NK=(144)/13`

`ΔMNQ` và `ΔKNM` có chung đường cao xuất phát từ đỉnh `M` nên:

`S_(MNQ)/S_(KNM)=(NQ)/(MN)=13/12`

Vậy...