Khi chúng ta có một số hữu tỉ với mẫu số n, với một khai triển thập phân tuần hoàn, độ dài của chu kỳ sẽ luôn chia (n − 1). Lý do cho điều này trở nên rõ ràng khi bạn thực hiện phép chia dài để tính toán mở rộng thập phân: ở mỗi bước, bạn sẽ không nhận được phần dư là 0 (vì điều đó có nghĩa là khai triển thập phân kết thúc) hoặc n hoặc cao hơn (do định nghĩa của Phần còn lại). Vì vậy, bạn có (n − 1) phần dư có thể có, và bất cứ khi nào bạn gặp lại phần dư tương tự, mô hình tương tự sẽ bắt đầu.

Đặc biệt, điều này có nghĩa là khai triển của `1/7` sẽ có một phần lặp lại bao gồm nhiều nhất 6 chữ số. Ngoài ra, nếu chúng ta nhìn vào `2/7`, điều này thực sự xảy ra trong công việc chia dài của chúng ta cho `1/7`, vì vậy chúng ta có cùng một mẫu lặp lại (nhưng với một khởi đầu khác). Tương tự với `3/7`, `4/7`, `5/7` và `6/7`.

Tất cả những điều này, chúng tôi đã có mà không cần phải tìm ra chính xác mẫu lặp lại đó là gì.

Sử dụng máy tính hoặc giải trên giấy, chúng tôi nhận được rằng mẫu lặp lại là 142857.