Đáp án:

`↓`

Giải thích các bước giải:

`a)`

Xét `ΔABC` vuông tại `A` có :

`AB^2+AC^2=BC^2` ( định lí `py-ta-go` )

`⇒` `BC^2=AB^2+AC^2=3^2+4^2=25`

`⇒` `BC=\sqrt{25}=5cm`

Ta có : phân giác `BD`

`⇒` `(AD)/(AB)=(CD)/(BC)`

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

`(AD)/(AB)=(CD)/(BC)=`(AD+CD)/(AB+BC)=(AC)/(3+5)=4/8=1/2`

`⇒` `(AD)/3=(CD)/5=1/2`

`⇒` `(AD)/3=1/2⇒AD=3/2=1,5cm`

`⇒` `(CD)/5=1/2⇒AD=5/2=2,5cm`

`b)`

Xét `ΔAHB` và `ΔBAC` có :

`hat{AHB}=hat{BAC}=90^o`
`hat{B}` góc chung

`⇒` `ΔAHB`$\backsim$`ΔBAC(g-g)`

`⇒(AH)/(AC)=(BH)/(AB)=(AB)/(BC)=3/5`

`⇒(AH)/4=3/5⇒AH=(4.3)/5=2,4cm`

`⇒(BH)/3=3/5⇒AH=(4.3)/5=1,8cm`

`c)`

Xét `ΔBHI` và `ΔBAD` có :

`hat{BHI}=hat{BAD}=90^o`

`hat{IBH}=hat{DBA}` ( phân giác `hat{B}` )

`⇒` `ΔBHI`$\backsim$`ΔBAD(g-g)`

`⇒` `hat{BIH}=hat{ADI}` ( 2 góc tương ứng )

Mà : `hat{BIH}=hat{AID}` ( đối đỉnh )

`⇒` `hat{ADI}=hat{AID}` 

`⇒` `ΔAID` cân tại `A` `⇒` `AI=AD=1,5cm`

a) Áp dụng định lý Py-ta-go vào `triangle ABC` vuông tại A có:

`AB^2 +AC^2 = BC^2`

`<=> 3^2 +4^2 = BC^2`

`<=> BC = 5(cm)`

Vì `BD` là phân giác trong `triangle ABC`

`=> (BA)/(BC) = (AD)/(DC)`

`<=> 3/5 = (AD)/(DC)`

`<=> 3/5 +1 = (AD +DC)/(DC)`

`<=> 8/5 = (AC)/(DC)`

`<=> 8/5 = 4/(DC)`

`=> DC = 5/2 (cm)`

Ta có:

`AD = AC - DC = 4-5/2 = 3/2 (cm)`

b)
Vì `triangle ABC` vuông tại A

`=> AB.AC =AH. BC`

`<=> 3.4=AH.5`

`=> AH = 12/5 (cm)`

Áp dụng định lý Py-ta-go trong `triangle ABH` vuông tại H có:

`AH^2 +BH^2 = AB^2`

`<=> BH = 81/25 (cm)`

c) Vì `BI` là phân giác trong `triangle ABH`

`=> (BA)/(BH) = (AI)/(IH)`

`<=> (BH)/(BA) = (IH)/(AI)`

`<=> (81/25)/(3) = (IH)/(AI)`

`<=> 27/25 +1 = (IH+AI)/(AI)`

`<=> 52/25 = (AH)/(AI)`

`<=> 52/25 = (12/5)/(AI)`

`=> AI = 15/13 (cm)`