Đáp án:

   Gọi I là giao điểm của AB và NM

Ta có: AB ∩ MN tại I

⇒ Tứ giác AMBN là hình bình hành

Lại có : AMBN là hình bình hành ( CMT)

            AB ∩ MN tại I ( N đối xứng M qua AB nên MN⊥AB)

⇒ Tứ giác AMBN là hình thoi

a)

Do N đối xứng với M qua AB nên MN⊥AB tại E và E là trung điểm của MN, AB

I đối xưng với M qua AC nên MI⊥AC tại K và K là trung điểm của MI và AC

Xét tứ giác AEMK có 3  góc A,E,K vuông

=> AEMK là hình chữ nhật

b)

Xét tứ giác AMBN có 2 đường chéo AB và MN vuông góc tại E là trung điểm mỗi đường

=> AMBN là hình thoi (dấu hiệu)

Chứng minh tương tự được tứ giác AMCI là hình thoi

c)

AMBN là hình thoi nên AN//BM và AN=BM hay AN//BC; AN=1/2 BC

AMCI là hình thoi nên AI// CM và AI=CM hay AI//BC; AI=1/2 BC

=> AN trùng với AI và AN= AI

=> N đối xứng với I qua A.

d)

Hình chữ nhật AEMK là hình vuông thì: MK=ME=AE=AK

=> 1/2 AB=1/2 AC

=> AB=AC

=> tam giác ABC vuông cân tại A

e)

đường chéo AM=4 cm

Gọi cạnh hình vuông là x 

Theo định lý Pytago ta có:

x2+x2=AM2=42⇒2x2=16⇒x2=8⇒S=x2=8(cm2)x2+x2=AM2=42⇒2x2=16⇒x2=8⇒S=x2=8(cm2)