Đáp án + Giải thích các bước giải:

 a) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, ta có:
$AB^2 + AC^2 = BC^2$
$\Rightarrow 6^2 + 8^2 = BC^2$
$\Rightarrow BC^2 = 36 + 64$
$\Rightarrow BC^2 = 100$

$\Rightarrow BC = 10(cm)$

Ta có: $BD$ là đường phân giác của $\widehat{ABC}$
$\Rightarrow \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{DC}$(tính chất đường phân giác)

$\Rightarrow \dfrac{6}{10} = \dfrac{AD}{AC - AD}$

$\Rightarrow 6(8 - AD) = 10AD$
$\Rightarrow 48 - 6AD = 10AD$
$\Rightarrow 16AD = 48$

$\Rightarrow AD = 3(cm)$
$\Rightarrow DC = AC - AD = 8 - 3 = 5(cm)$

b) Ta có:

$\begin {cases} \widehat{BAI} + \widehat{ABH} = 90^o(2\text{ góc phụ nhau trong tam giác}) \\ \widehat{BCD} + \widehat{ABC} = 90^o(2\text{ góc phụ nhau trong tam giác}) \end {cases}$

$\Rightarrow \widehat{BAI} = \widehat{BCD}$
Xét $\Delta ABI$ và $\Delta CBD$, ta có:
$\begin {cases} \widehat{ABI} = \widehat{CBD}(BI\text{ là tia phân giác của } \widehat{ABC}) \\ \widehat{BAI} = \widehat{BCD} (cmt) \end {cases}$

$\Rightarrow \Delta ABI \backsim \Delta CBD(g - g)$

c) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ và $\Delta HBA$ vuông tại $H$, ta có:
$\begin {cases} \widehat{BAC} = \widehat{BHA} (= 90^o) \\ \widehat{ABH}\text{ chung} \end {cases}$

$\Rightarrow \Delta ABC \backsim \Delta HBA(g - g)$
$\Rightarrow \dfrac{AB}{HB} = \dfrac{BC}{BA}$

$\Rightarrow \dfrac{HB}{AB} = \dfrac{AB}{BC}$

Ta có:
$BI$ là tia phân giác của $\widehat{ABH}$

$\Rightarrow \dfrac{BH}{BA} = \dfrac{IH}{IA}$

Mà $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{DC}(cmt)$

$\dfrac{HB}{AB} = \dfrac{AB}{BC}(cmt)$

$\Rightarrow \dfrac{IH}{IA} = \dfrac{AD}{DC}$

a, Áp dụng định lý Py-ta-go vào ΔABC vuông tại A

⇒ BC² = AC² + AB²

Thay AB = 6cm; AC = 8cm

⇔ BC² = 6² + 8²

⇔ BC² = 100

⇔ BC = 10 cm

Xét ΔABC vuông tại A phân giác BD, ta có :

⇒ $\frac{AB}{BC}$ = $\frac{DA}{DC}$  (Tính chất đường phân giác ở tam giác)

Thay AB = 6cm; BC = 10cm

Có: DA = AC - DC = 8 - DC cm [1]

⇔ $\frac{6}{10}$ = $\frac{8 - DC}{DC}$

⇔ $\frac{3}{5}$ = $\frac{8 - DC}{DC}$ 

⇔3DC = 5.(8 - DC)

⇔ 3DC = 40 - 5DC

⇔ 3DC + 5DC = 40

⇔ 8DC = 40

⇔ DC = 5cm

Thay DC = 5cm vào [1]

⇒ DA = 8 - DC = 8 - 5 = 3cm

b, Xét ΔABC ta có:

$\widehat{ABC}$ + $\widehat{ACB}$ = $90^{0}$ 

mà $\widehat{ABC}$ + $\widehat{BAI}$ = $90^{0}$ 

⇒ $\widehat{ACB}$ = $\widehat{BAI}$ (cùng phụ với $\widehat{ABC}$)

Xét ΔABI và ΔCBD ta có:

 $\widehat{BAI}$ = $\widehat{DCB}$ [cmt]

$\widehat{ABI}$ = $\widehat{DBC}$ (BD là phân giác)

⇒ ΔABI $\backsim$ ΔCBD (g - g)

c, Xét ΔAHB và ΔCAB ta có:

 $\widehat{BAH}$ = $\widehat{ACB}$ [cmt]

$\widehat{ABC}$ chung

⇒ ΔAHB $\backsim$ ΔCAB (g - g)

⇒ $\frac{AH}{AC}$ = $\frac{AB}{BC}$ (Tính chất ở hai tam giác dồng dạng)

Thay AC = 8cm; AB = 6cm; BC = 10cm

⇔ $\frac{AH}{8}$ = $\frac{6}{10}$

⇔ AH. 10 = 6.8

⇔ AH.10 = 48

⇔ AH = 4,8cm

Lại có ΔABI $\backsim$ ΔCBD (cmt)

⇒ $\frac{IA}{CD}$ = $\frac{AB}{BC}$ (Tính chất ở hai tam giác dồng dạng)

Thay CD = 5cm; AB = 6cm; BC = 10cm

⇔ $\frac{IA}{5}$ = $\frac{6}{10}$

⇔ IA.10 = 5.6

⇔ IA10 = 30

⇔ IA = 3cm

Mà IH = AH - IA = 4,8 - 3 = 1,8cm

Xét tỉ lệ $\frac{IH}{IA}$ = $\frac{1,8}{3}$ = $\frac{3}{5}$ 

Lại có tỉ lệ: $\frac{AD}{DC}$ = $\frac{3}{5}$ 

Từ đây ⇒ $\frac{IH}{IA}$ = $\frac{AD}{DC}$ [đpcm]