Giải thích các bước giải:

a.Ta có $D,E$ là trung điểm $AB,AC$
$\to DE$ là đường trung bình $\Delta ABC$
$\to DE//BC$
$\to BDEC$ là hình thang
Mà $\Delta ABC$ cân tại $A$
$\to \widehat{DBC}=\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\widehat{ECB}$
$\to BDEC$ là hình thang cân
b.Ta có $H,D$ là trung điểm $BC, AB\to HD$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\to HD//AC, HD=\dfrac12AC$

Mà $E$ là trung điểm $AC$

$\to HD//AE, HD=AE$

$\to ADHE$ là hình bình hành

Lại có $D,E$ là trung điểm $AB,AC$

$\to AD=\dfrac12AB=\dfrac12AC=AE$

$\to ADHE$ là hình thoi

c.Ta có $H,I$ đối xứng qua $E\to E$ là trung điểm $HI$

            $E$ là trung điểm $AC$

$\to AICH$ là hình bình hành

Lại có $\Delta ABC$ cân tại $A, H$ là trung điểm $BC\to AH\perp BC\to AH\perp HC$

$\to AICH$ là hình chữ nhật

d.Để $AHCI$ là hình vuông

$\to AH=HC$

$\to AH=HC=HB=\dfrac12BC$ vì $H$ là trung điểm $BC$

$\to \Delta ABC$ vuông tại $A$