1.

\(P(x):(x-1)(x+2)\) dư \(ax+b\to P(x)=(x-1)(x+2)v(x)+ax+b\)

\(P(x):(x-1)\) dư \(7\to P(x)=(x-1)q(x)+7\)

\(P(x):(x+2)\) dư \(1\to P(x)=(x+2)m(x)+1\)

Cho \(x=1\to 7=a+b\)

Cho \(x=-2\to 1=-2a+b\)

Ta giải được: \(a=2,b=5\)

\(P(x):(x-1)(x+2)\) dư \(2x+5\)

2.

\(a+b+20c=c^3\to a+b+c+18c=c^3-c\)

Dễ thấy: \(c^3-c=c(c-1)(c+1)\)

Do \(c,c-1,c+1\) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên có 1 số \(\vdots 2,\vdots 3\) và \((2;3)=1\)

\(\to c(c-1)(c+1)\vdots 6\to (a+b+c+18c)\vdots 6\)

Mặt khác: \(18c\vdots 6\to (a+b+c)\vdots 6\)

Xét hiệu: \((a^3+b^3+c^3)-(a+b+c)\)

\(=(a^3-a)+(b^3-b)+(c^3-c)\)

Tương tự như trên: \((a^3-a)\vdots 6,(b^3-b)\vdots 6\)

\(\to [(a^3+b^3+c^3)-(a+b+c)]\vdots 6\) mà \((a+b+c)\vdots 6\)

Nên \((a^3+b^3+c^3)\vdots 6\)

2.1.

Áp dụng định lý Bezout, theo đề bài ta có

`P(1)=7; P(-2)=1.` (1)

Đặt `P(x) = (x-1)(x+2) + ax + b` (2) (với `a` và `b` là các số thực).

Từ (2) ta có `P(1) = a + b` kết hợp với (1) ta được `a+b=7` hay `b = 7 - a.`

Tương tự ta được `-2a + b = 1` hay `-2a + 7-a =1.` Từ đó tìm được `a = 2,` kéo theo `b = 5.`

Vậy đa thức dư cần tìm là `ax + b = 2x +5.`

2.2.

Từ giả thiết suy ra `a + b + 19c = c^3 - c.`

Dễ có `c^3 - c = (c-1)c(c+1)` (*) chia hết cho 6 vì đây là tích của `3` số nguyên liên tiếp.

Do đó `a + b + 19c \equiv 0 (mod 6) \Leftrightarrow a + b + c \equiv 0 (mod 6).` (1)

Mà `a^3 - a + b^3 - b + c^3 - c \equiv 0 (mod 6)` (chứng minh như (*)) hay `a^3 + b^3 + c^3 \equiv a + b + c (mod 6).` (2)

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.