Đáp án + giải thích các bước giải:

Cách 1:

BDT tổng hai nghịch đảo là bất đẳng thức Cô-si với hai số dương a,b như sau

`a/b+b/a>=2 `

Ta sẽ chứng minh như sau:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

`a/b+b/a>=2\sqrt{ a/b . b/a}=2.\sqrt{1}=2`

Xét bài toán:

`a/(bc)+b/(ca)+c/(ab)>=1/a+1/b+1/c`

Xét `a/(bc)+b/(ca) = a/b . 1/c + b/a . 1/c =1/c .(a/b+b/a)>=1/c . 2` (theo chứng minh trên)

Tương tự thì

`b/(ca)+c/(ab)=b/c . 1/a + c/b . 1/a=1/a (b/c . c/b)>=1/a . 2 `

`a/(bc)+c/(ab)= a/c . 1/b + c/a . 1/b=1/b (a/c+c/a)>=1/b . 2`

Cộng ba vế trên

`a/(bc)+b/(ca)+b/(ca)+c/(ab)+a/(bc)+c/(ab)>=1/c . 2+ 1/a . 2+ 1/b .2`

`->2(a/(bc)+b/(ca)+c/(ab))>=2(1/a+1/b+1/c)`

`->a/(bc)+b/(ca)+c/(ab)>=1/a+1/b+1/c` (đpcm)

Cách 2:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

`a/(bc)+b/(ca)>=2\sqrt{ a/(bc) . b/(ca) }=2\sqrt{(a.b)/(b.c.c.a)}=2\sqrt{1/c^2}=2 . 1/c`

Tương tự:

`b/(ca)+c/(ab)>=2. 1/a`

`a/(bc)+c/(ab)>=2. 1/b`

Cộng ba vế trên

`a/(bc)+b/(ca)+b/(ca)+c/(ab)+a/(bc)+c/(ab)>=1/c . 2+ 1/a . 2+ 1/b .2`

`->2(a/(bc)+b/(ca)+c/(ab))>=2(1/a+1/b+1/c)`

`->a/(bc)+b/(ca)+c/(ab)>=1/a+1/b+1/c` (đpcm)

Cách 1:

Áp dụng bất đẳng thức tổng hai nghịch đảo, ta có:

`+) a/(bc) + b/(ca) = 1/(c).(a/b + b/a) >= 2/c`

`+) a/(bc) + c/(ab) = 1/(b).(a/c + c/a) >= 2/b`

`+) b/(ca) + c/(ab) = 1/(a).(b/c + c/b) >= 2/a`

`=> 2(a)/(bc) + 2(b)/(ca) + 2(c)/(ab) >= 2(1/a + 1/b + 1/c)`

`=> a/(bc) + b/(ca) + c/(ab) >= 1/a + 1/b + 1/c`
Cách `2:`

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho `a/(bc); b/(ca) > 0,` ta có:

`a/(bc) + b/(ca) >= 2sqrt{(a)/(bc).(b)/(ca)} = 2.(1)/c`

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho `a/(bc); c/(ab) > 0`, ta có:

`a/(bc) + c/(ab) >= 2sqrt{(a)/(bc).(c)/(ab)} = 2.(1)/b`

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho `b/(ca); c/(ab) > 0`, ta có:

`b/(ca) + c/(ab) >= 2sqrt{(b)/(ca).(c)/(ab)} = 2.(1)/c`

`=> 2(a)/(bc) + 2(b)/(ca) + 2(c)/(ab) >= 2(1/a + 1/b + 1/c)`

`=> a/(bc) + b/(ca) + c/(ab) >= 1/a + 1/b + 1/c`