Đáp án: Bạn tham khảo lời giải bên dưới

Giải thích các bước giải:

a, Ta có:

`AH` là đường cao của tam giác `ABC`

`=>`$AH\perp BC$

`ΔAHC` vuông tại `H`

Vì `N` là trung điểm `AC`

`=>HN=AN=CN=1/2AC(1)` (định lí)

Mặt khác: `K` là điểm đối xứng của `H` qua `N`

`=>HN=KN(2)`

Từ `(1)` và `(2)=>AC=Hk` và `AN=NC=HN=KN`

`=>AKCH` là hình chữ nhật (tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình chữ nhật)

b, Ta có:

`M` là trung điểm của `AH`

`N` là trung điểm của `AC`

`=>MN` là đường trung bình của `ΔAHC`

`=>`$MN//HC$ và `MN=1/2HC(3)`

Lại có: `ΔABC` cân tại `A`

`=>` Đường cao đồng thời là đường trung tuyến

`=>BH=CH(4)`

Từ `(3)` và `(4)=>`$MN//BH$ và `MN=1/2BH`

`=>MN` là đường trung bình `ΔBHK`

`=>M` là trung điểm của `BK(đpcm)`

c, Ta có:

`N` là trung điểm của `AC`

$MQ//BC$`=>Q` là trung điểm của `AB`

Vì `N` là trung điểm của `AC`

`H` là trung điểm của `BC`

`=>`$HN//AQ$

Tương tự: $QH//AN$

`=>AQHN` là hình bình hành `(5)`

Mặt khác $MN//HC$ mà $AH \perp HC$

`=>`$MN \perp AH(6)$

Từ `(5)` và `(6)=>AQHN` là hình thoi

d, Để `AKHQ` là hình thang cân

`=>\hat{QHK}=\hat{AKH}`

Mà `\hat{QHK}=\hat{BAC}` (`ΔQAN` đối xứng với `ΔNHQ` qua đường thẳng `QN`)

`=>\hat{BAC}=\hat{AKH}(7)`

Mặt khác $AK//HC$

`=>\hat{AKN}=\hat{NHC}(8)` (so le trong)

Xét `ΔBQH` và `ΔCNH` có:

`BQ=CN; \hat{B}=\hat{C}; BH=CH`

`=>ΔBQH=ΔCNH(c-g-c)`

`=>\hat{QHB}=\hat{NHC}(9)`

Từ `(7), (8)` và `(9)=>\hat{BAC}=\hat{QHB}=\hat{QHN}=\hat{NHC}`

Mà ` \hat{QHB}+\hat{QHN}+\hat{NHC}=180^o`

`=>\hat{QHB}=\hat{QHN}=\hat{NHC}=60^o`

`=>\hat{BAC}=60^o`

Kết hợp với `ΔABC` cân tại `A=>ΔABC` là tam giác đều

Vậy `ΔABC` là tam giác đều thì `AKHQ` là hình thang cân