Đáp án + Giải thích các bước giải:

Bài 1:

 Đổi: $30$ phút $= \dfrac{1}{2}$ giờ

Gọi $x(km)$ là độ dài quãng đường người đó đi từ $A$ đến $B(x > 0)$

$x + 5$ là độ dài quãng đường người đó đi từ $B$ về $A$

$\dfrac{x}{15}$ là thời gian người đó đi từ $A$ đến $B$

$\dfrac{x + 5}{20}$ là thời gian người đó đi từ $B$ về $A$

Vì thời gian về ít hơn thời gian đi $\dfrac{1}{2}$ giờ nên ta có:
$\dfrac{x}{15} - \dfrac{x + 5}{20} = \dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{4x - 3(x + 5)}{60} = \dfrac{30}{60}$
$\Leftrightarrow 4x - 3x - 15 = 30$

$\Leftrightarrow x - 15 = 30$
$\Leftrightarrow x = 45(n)$

Vậy quãng đường lúc đi từ $A$ đến $B$ là $45km$

Bài 2:

Đổi: $45$ phút $= \dfrac{3}{4}$ giờ

Gọi $x(km)$ là độ dài quãng đường bạn Cường đi từ $A$ đến $B(x > 0)$

$x + 10$ là độ dài quãng đường bạn Cường đi từ $B$ về $A$

$\dfrac{x}{40}$ là thời gian bạn Cường đi từ $A$ đến $B$

$\dfrac{x + 10}{30}$ là thời gian bạn Cường đi từ $B$ về $A$

Vì thời gian về nhiều hơn thời gian đi $\dfrac{3}{4}$ giờ nên ta có:

$\dfrac{x + 10}{30} - \dfrac{x}{40} = \dfrac{3}{4}$
$\Leftrightarrow \dfrac{4(x + 10) - 3x}{120} = \dfrac{90}{120}$

$\Leftrightarrow 4x + 40 - 3x = 90$

$\Leftrightarrow x + 40 = 90$

$\Leftrightarrow x = 50(n)$

Vậy quãng đường lúc đi từ $A$ đến $B$ là $50km$

Bài 3:
a) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ và $\Delta HAC$ vuông tại $H$, ta có:
$\begin {cases} \widehat{BAC} = \widehat{AHC} (= 90^o) \\ \widehat{ACH}\text{ chung} \end {cases}$

$\Rightarrow \Delta ABC \backsim \Delta HAC(g - g)$

b) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ và $\Delta HBA$ vuông tại $H$, ta có:
$\begin {cases} \widehat{BAC} = \widehat{BHA} (= 90^o) \\ \widehat{HBA}\text{ chung} \end {cases}$

$\Rightarrow \Delta ABC \backsim \Delta HBA(g - g)$

$\Rightarrow \dfrac{AB}{HB} = \dfrac{BC}{AB}$
$\Rightarrow AB^2 = BH . BC$

c) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$AB^2 + AC^2 = BC^2$(định lý Pytago)

$\Rightarrow 8^2 + 6^2 = BC^2$
$\Rightarrow BC^2 = 64 + 36$

$\Rightarrow BC^2 = 100$

$\Rightarrow BC = 10(cm)$
Ta có:
$AB^2 = BH . BC (cmt)$
$\Rightarrow 8^2 = 10BH$

$\Rightarrow BH = \dfrac{8^2}{10} = 6,4(cm)$

Xét $\Delta AHB$ vuông tại $H$, ta có:
$AH^2 + BH^2 = AB^2$(định lý Pytago)

$\Rightarrow AH^2 + 6,4^2 = 8^2$
$\Rightarrow AH^2 + 40,96 = 64$
$\Rightarrow AH^2 = 64 - 40,96$
$\Rightarrow AH^2 = 23,04$

$\Rightarrow AH = 4,8(cm)$