a) Ta có:

$\widehat{BAC}=\widehat{DAE}=90^o$ (nhìn đường kính $BC$ của $(O)$)

$\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=90^o$ (cùng nhìn đường kính $AH$ của $(O')$)

Xét tứ giác $ADHE$ có:

$\widehat{DAE}=\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=90^o$

Do đó $ADHE$ là hình chữ nhật

b) Ta có: $OB = OC = 5\, cm$

$\Rightarrow BC = 10\, cm$

$BH = 3,6 \, cm\to HC = 6,4\, cm$

Áp dụng hệ thức lượng trong $∆ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:

$+)\quad AB^2 = BH.BC = 3,6.10 = 36$

$\to AB = 6\, cm$

$+)\quad AC^2 = HC.BC = 6,4.10 = 64$

$\to AC = 8\, cm$

Do đó:

$P_{ABC}=AB + BC + AC = 6 + 10+ 8 = 24\, cm$

c) Ta có:

$DQ$ là tiếp tuyến của $(O')$ tại $D$

$\Rightarrow O'D\perp DQ$

$\Rightarrow \widehat{O'DQ}=90^o$

Ta lại có:

$\widehat{O'HQ}=\widehat{AHB}=90^o\quad (AH\perp BC)$

$\Rightarrow \widehat{O'DQ}+\widehat{O'HQ}=180^o$

$\Rightarrow O'DQH$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{HO'Q}=\widehat{HDQ}$

mà $\widehat{HDQ}=\widehat{HAD}$ (cùng chắn $\mathop{DH}\limits^{\displaystyle\frown}$ của $(O')$)

nên $\widehat{HO'Q}=\widehat{HAD}$

$\Rightarrow O'Q//AD$

$\Rightarrow O'Q//AB$

mà $O'A = O'H = \dfrac12AH$

nên $BQ = QH =\dfrac12BH$

hay $Q$ là trung điểm $BH$

d) Ta có: $OA = OB = R$

$\Rightarrow ∆OAB$ cân tại $O$

$\Rightarrow \widehat{OAB}=\widehat{OBA}$

mà $\widehat{OBA}=\widehat{ABC}=\widehat{HAC}$ (cùng phụ $\widehat{HAB}$)

nên $\widehat{OAB}=\widehat{HAC}$

hay $\widehat{OAD} =\widehat{HAE}$

Mặt khác:

$\widehat{ADE}=\widehat{AHE}$ (cùng chắn $\mathop{AE}\limits^{\displaystyle\frown}$ của $(O')$)

Do đó:

$\widehat{OAD}+\widehat{ADE} =\widehat{HAE}+\widehat{AHE} = 90^o$

$\Rightarrow OA\perp DE$