Đáp án:

 a. Phương trình hoành độ giao điểm của $P$ và $d$ là: 

   $x^2 = 2(m + 3)x - 2m + 2$ 

$\to x^2 - 2(m + 3)x + 2m - 2 = 0$ 

Với $m = -5$ ta có phương trình: 

 $x^2 + 4x - 12 = 0$ 

$\Delta ' = 2^2 + 12 = 16 \to \sqrt{\Delta '} = 4$ 

$x_1 = - 2 + 4 = 2$;    $x_2 = - 2 - 4 = - 6$ 

Suy ra: 

  $y_1 = 2^2 = 4$;       $y_2 = (-6)^2 = 36$ 

Toạ độ giao điểm của $d$ và $P$ là: 

  $A(2; 4)$.    và $B(-6; 36)$ 

Với m bất kỳ ta có: 

$\Delta ' = (m + 3)^2 - (2m - 2) = $ 

       $= m^2 + 6m + 9 - 2m + 2$ 

     $= m^2 + 4m + 11 = m^2 + 4m + 4 + 7$ 

  $(m + 2)^2 + 7 > 0$ với mọi m 

Nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt nên $d$ luôn cắt $P$ tại hai điểm phân biệt với mọi m.
 

Với $m = - 3$ ta có:  $y = - 4$ 

Do đó, $d$ luôn đi qua điểm có tung độ là $- 4$

Với $m = 0$ ta có: $y = 6x - 2$ 

Mà $y = - 4 \to 6x - 2 = - 4 \to x = - \dfrac{1}{3}$ 

Vậy $d$ luôn đi qua điểm cố định là: 

            $M(- \dfrac{1}{3}; - 4)$