a) Ta có: OM = ON (bán kính (O))

              PM = PN ( Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau tại P)

=> OP là đường trung trực của MN

=> OP ⊥ MN

Xét ΔOMP vuông tại M, có MK là đường cao

MP²= PK.PO ( 1)

b) Xét (O), ta có:

ΔMAI nội tiếp đường tròn ( M,A,I ∈ (O))

MA là đường kính (gt)

=> ΔMAI vuông tại I

=> MI ⊥ AI

Xép ΔMAP vuông tại M, có MI là đường cao.

MP²= PI.PA ( hệ thức lượng )  (2)

Từ (1) và (2) => PI.PA= PK.PO

Ta có : PI.PA = PK.PO

=> PI/ PO = PK/ PA

Xét ΔPIK và ΔPAO

∠KPI : chung

PI/ PO = PK/ PA ( cmt )

=> ΔPIK đồng dạng với ΔPOA (cgc)

=> ∠PKI = ∠PAO

c) Ta có: H là giao điểm của PK và MI ( K ∈ OP )

Xét ΔMPB

MI là đường cao ( MI ⊥ AP )

PK là đường cao ( OP ⊥ MN )

MI cắt PK tại H

=> H là trực tâm của ΔMBP

=> BH ⊥ MP

mà AM ⊥ MP

Nên BH // AM

*Gọi T là giao điểm của BH và MP

Xét ΔMPO, có

HT // MO ( H∈BT ; O∈AM )

=> $\frac{PH}{PO
}$  = $\frac{HT}{MO}$ ( định lý Talet ) (3)

Xét ΔOPA

HB // OA ( O ∈ AM )

=> $\frac{PH}{PO
}$ = $\frac{HB}{OA}$ (hệ quả Talet) (4)

Từ (3) và (4) => $\frac{HT}{OM}$ = $\frac{HB}{OA}$ 

Mà OM = OA

Nên HT = HB

=> H là trung điểm của BT

Xét ΔMPA

BH // AM ( cmt)

=> $\frac{BT}{AM}$ = $\frac{BP}{AP}$  (định lý Talet)

=> BT.AP = BP.AM

Xét ΔMAP vuông tại M

sinMPA = $\frac{AM}{AP}$  (TSLG)

mà B ∈ AP => sinMPA = sinMPB

Ta có BT.AP = BP.AM

=> BN = $\frac{BP.AM}{AP}$ 

=> 2BH = $\frac{BP.AM}{AP}$ 

=> BH = $\frac{1}{2}$.$\frac{BP.AM}{AP}$

=> BH = $\frac{1}{2}$ BP.sinMPB