Đáp án: $S_{BEN}=\dfrac{3a^2\sqrt{79}}{16}$

Giải thích các bước giải:

Vì $M,N$ là trung điểm $SC, MC$

$\to NC=\dfrac12MC=\dfrac12.\dfrac12SC=\dfrac14SC\to \dfrac{CN}{CS}=\dfrac14$

Lại có: $E$ là trung điểm $AC\to \dfrac{CE}{CA}=\dfrac12$

Gọi $D$ là trung điểm $AB\to SD\perp AB$ vì $\Delta SAB$ cân tại $S$
$\to SD\perp (ABC),SD$ là phân giác $\widehat{ASB}$

$\to \widehat{DSB}=\dfrac12\widehat{ASB}=60^o$

$\to \tan\widehat{DSB}=\dfrac{BD}{SD}$

$\to \tan60^o=\dfrac{DB}{SD}$

$\to SD=BD\tan60^o$

Mà $\Delta ABC$ đều cạnh $2a\sqrt{3}\to AB=BC=CA=2a\sqrt{3}$

$\to DA=DB=\dfrac12AB=a\sqrt{3}$

$\to SD=a$

Ta có: $\Delta ABC$ đều cạnh $2a\sqrt{3},D,E$ là trung điểm $AB,AC$

$\to CD=BE=\dfrac{(2a\sqrt{3})\sqrt{3}}{2}=3a$

Ta có: $SD\perp ABC\to SD\perp CD$

$\to SC=\sqrt{SD^2+CD^2}=\sqrt{a^2+(3a)^2}=a\sqrt{10}\to SM=MC=\dfrac12SC=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}$

      $SA=SB=\sqrt{SD^2+BD^2}=\sqrt{a^2+(a\sqrt{3})^2}=2a$

Vì $AM$ là trung tuyến $SC$

$\to AM=\sqrt{\dfrac{SA^2+AC^2}{2}-\dfrac{SC^2}{4}}$

$\to AM=\sqrt{\dfrac{(2a)^2+(2a\sqrt{3})^2}{2}-\dfrac{(a\sqrt{10})^2}{4}}$

$\to AM=\dfrac{a\sqrt{22}}{2}$

$\to EN=\dfrac12AM=\dfrac{a\sqrt{22}}{4}$ vì $EN$ là đường trung bình $\Delta MAC$

Ta có: $SD\perp AB, CD\perp AB\to AB\perp (SCD)$

$\to AB\perp DN$

Mà $D$ là trung điểm $AB\to NA=NB$

Lại có $N$ là trung điểm $MC$

$\to AN=\sqrt{\dfrac{AM^2+AC^2}{2}-\dfrac{MC^2}{4}}$

$\to AN=\sqrt{\dfrac{(\dfrac{a\sqrt{22}}{2})^2+(2a\sqrt{3})^2}{2}-\dfrac{(\dfrac{a\sqrt{10}}{2})^2}{4}}$

$\to AN=\dfrac{a\sqrt{130}}{4}$

$\to BN=AN=\dfrac{a\sqrt{130}}{4}$

Ta có:

$S_{BEN}=\sqrt{\dfrac{BN+NE+EB}{2}.\dfrac{-BN+NE+EB}{2}.\dfrac{BN-NE+EB}{2}.\dfrac{BN+NE-EB}{2}}$ (Công thức Herong)

$\to S_{BEN}=\sqrt{\dfrac{\dfrac{a\sqrt{130}}{4}+\dfrac{a\sqrt{22}}{4}+3a}{2}.\dfrac{-\dfrac{a\sqrt{130}}{4}+\dfrac{a\sqrt{22}}{4}+3a}{2}.\dfrac{\dfrac{a\sqrt{130}}{4}-\dfrac{a\sqrt{22}}{4}+3a}{2}.\dfrac{\dfrac{a\sqrt{130}}{4}+\dfrac{a\sqrt{22}}{4}-3a}{2}}$

$\to S_{BEN}=\dfrac{3a^2\sqrt{79}}{16}$