Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}
CD//AB\\
AD//BC
\end{array} \right.$

$ \Rightarrow ABCD$ là hình bình hành.

Mà $\widehat {ABC} = {90^0}$

$ \Rightarrow ABCD$ là hình chữ nhật.

b)

+) Ta có:

$ABCD$ là hình chữ nhật $\to AB=CD$ và $\widehat {BCD} = {90^0}$

Mà lại có: $M$ đối xứng với $D$ qua $C$ $\to D,C,M$ thẳng hàng và $CM=CD$

Khi đó:

$CM=AB; CM//AB$

$\to ABMC$ là hình bình hành.

+) Ta có:

$I$ là giao điểm $2$ đường chéo của hình bình hành $ABMC$

$\to I$ là trung điểm của $BC$

Lại có:

$K$ là giao điểm $2$ đường chéo của hình chữ nhật $ABCD$

$\to K$ là trung điểm của $AC$

Xét tam giác $ABC$ có:

$I,K$ lần lượt là trung điểm của $BC,AC$

$\to IK$ là đường trung bình của tam giác $ABC$

$\to KI//BC$

c) Ta có:

$ABMC$ là hình bình hành $\to BM//AC$ $\to BF//AC$

$ABCD$ là hình chữ nhật $\to BC//AD$ $\to BC//AF$

Xét tứ giác $BCAF$ có: $BF//AC;BC//AF$

$\to BCAF$ là hình bình hành.

$\to CF$ đi qau trung điểm của $AB$ $(1)$

Lại có:

$AI,BK$ là trung tuyến của tam giác $ABC$ và $AI\cap BK=H$

$\to H$ là trọng tâm của tam giác $ABC$

$\to CH$ là trung tuyến ứng với $AB$ 

$\to CH$ đi qua trung điểm của $AB$ $(2)$

Từ $(1),(2)\to F,H,C$ thẳng hàng.

d) Ta có:

 $K,C$ lần lượt là trung điểm của $BD,MD$ 

$\to BC,MK$ là $ 2$ trung tuyến của tam giác $BDM$. Mà $BC\cap KM =N$

$\to N$ là trọng tâm của tam giác $BDM$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \dfrac{{CN}}{{BC}} = \dfrac{1}{3}\\
 \Rightarrow \dfrac{{{S_{KNC}}}}{{{S_{KBC}}}} = \dfrac{1}{3}\\
 \Rightarrow {S_{KNC}} = \dfrac{1}{3}{S_{KBC}}
\end{array}$

Lại có:

$K$ là trung điểm của $AC$ $ \Rightarrow \dfrac{{{S_{BKC}}}}{{{S_{BAC}}}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow {S_{KBC}} = \dfrac{1}{2}{S_{BAC}} = 12c{m^2}$

Như vậy:

${S_{KNC}} = \dfrac{1}{3}{S_{KBC}} = \dfrac{1}{3}.12 = 4c{m^2}$

Vậy ${S_{KNC}} = 4c{m^2}$