Đáp án:

Mình trình bày phía dưới nhé!

$\text{a. Xét tứ giác AEFD, ta có:}$

$\text{AB // CD (gt) }$

$\text{AE =}$ $\dfrac{1}{2}AB$ $\text{( gt)}$

$\text{FD=}$ $\dfrac{1}{2}CD$ $\text{( gt)}$

$\text{⇒ AE = FD }$

$\text{Tứ giác AEFD là hình bình hành}$

$\text{AD = AE = }$ $\dfrac{1}{2}AB$

$\text{Vậy tứ giác AEFD là hình thoi.}$

$\text{Xét tứ giác AECF, ta có:}$

$\text{AE // CF (gt)}$

$\text{AE =}$ $\dfrac{1}{2}AB$ $\text{( gt)}$

$\text{CF=}$ $\dfrac{1}{2}CD$ $\text{( gt)}$

$\text{⇒ AE = CF}$

$\text{Tứ giác AECF là hình bình hành}$

$\text{b. Tứ giác AEFD là hình thoi}$

$\text{⇒ AF ⊥ ED}$

$\text{⇒ góc EMF = 90 độ}$

$\text{AF // CE (vì tứ giác AECF là hình bình hành)}$

$\text{⇒ CE ⊥ ED}$

$\text{⇒ góc EMF = 90 độ}$

$\text{Xét tứ giác EBFD}$

$\text{ta có: EB = FD}$

$\text{EB // FD (vì AB // CD)}$ 

$\text{Tứ giác EBFD là hình bình hành}$

$\text{⇒ DE //BF}$

$\text{⇒ BF ⊥ AF}$

$\text{⇒ góc MFN = 90°}$

$\text{Vậy tứ giác EMFN là hình chữ nhật.}$

$\text{c. Ta có: Hình chữ nhật EMFN là hình thoi }$

$\text{⇒ ME = MF}$

$\text{ME = }$ $\dfrac{1}{2}DE$ $\text{(tính chất hình thoi)}$

$\text{MF = }$ $\dfrac{1}{2}AF$ $\text{(tính chất hình thoi)}$

$\text{⇒ DE = AF}$

$\text{⇒ Tứ giác AEFD là hình vuông }$ $\text{(vì hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau)}$

$\text{⇒ góc A = 90 độ }$

$\text{⇒ Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.}$

$\text{ABCD là hình chữ nhật }$

$\text{⇒ góc A = 90 độ}$

$\text{Hình thoi AEFD}$

$\text{có góc A = 90 độ }$

$\text{nên AEFD là hình vuông}$

⇒\(\left[ \begin{array}{l}AF = DE\\ME = MF\end{array} \right.\) $\text{(cả hai là tính chất của hình vuông )}$

$\text{Hình chữ nhật EMFN là hình vuông (vì có 2 cạnh kề bằng nhau)}$

$\text{Vậy hình chữ nhật EMFN là hình vuông}$ $\text{nếu ABCD là hình chữ nhật có AB = 2 AD.}$