Đáp án:

1) $C_{10}^4 = 210$

2a) $P = \dfrac{7}{15}$

b) $P = \dfrac{7}{15}$

c) $P = \dfrac{8}{15}$

Giải thích các bước giải:

1) Sửa đề: $C_n^1 + C_n^3 = 13n$

Ta có:

$C_n^1 + C_n^3 = 13n\qquad (n \geq 3;\, n \in \Bbb N)$

$\Leftrightarrow \dfrac{n!}{(n-1)!1!} + \dfrac{n!}{(n-3)!3!} = 13n$

$\Leftrightarrow 6n + n(n-1)(n-2) = 78n$

$\Leftrightarrow n^2 -3n - 70 = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}n = -7\quad (loại)\\n = 10\quad (nhận)\end{array}\right.$

Số hạng tổng quát trong khai triển $\left(x^2 + \dfrac{1}{x^3}\right)^{10}$ có dạng:

$\sum\limits_{k=0}^{10}C_{10}^k(x^2)^{10- k}\left(\dfrac{1}{x^3}\right)^k\qquad (0\leq k \leq 10;\, k\in\Bbb Z)$

$= \sum\limits_{k=0}^{10}C_{10}^kx^{20 - 5k}$

Số hạng không chứa $x$ ứng với phương trình:

$20 - 5k = 0 \Leftrightarrow k = 4 \quad (nhận)$

Vậy số hạng không chứa $x$ là: $C_{10}^4 = 210$

2) Số phần tử không gian mẫu: $n(\Omega) = C_{10}^2 = 45$

a) Gọi $A$ là biến cố: "Chọn được `2` người đều là nam"

$\Rightarrow n(A) = C_{7}^2 = 21$

Xác suất chọn được `2` người đều là nam: $P(A) = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)} = \dfrac{21}{45} = \dfrac{7}{15}$

b) Gọi $B$ là biến cố: "Chọn `2` người có đúng `1` nam"

$\Rightarrow n(B) = C_7^1.C_3^1 = 21$

Xác suất chọn được `2` người có đúng `1` nam: $P(B) = \dfrac{n(B)}{n(\Omega)} = \dfrac{21}{45} = \dfrac{7}{15}$

c) Gọi $C$ là biến cố: "Chọn đươc `2` người có ít nhất `1` nữ"

$\Rightarrow n(C) = n(\Omega) - n(A) = 45 - 21 = 24$

Xác suất chọn được ít nhất `1` nữ: $P(C) = \dfrac{n(C)}{n(\Omega)} = \dfrac{24}{45} = \dfrac{8}{15}$

1.

ĐK: $n\ge 3$

$C_n^1+C_n^3=13$

$\Leftrightarrow \dfrac{n!}{(n-1)!}+\dfrac{n!}{3!(n-3)!}=13$

$\Leftrightarrow n+\dfrac{1}{6}n(n-1)(n-2)=13$

$\Leftrightarrow 6n+n(n^2-3n+2)=78$ (Không có nghiệm nguyên dương)

2.

Chọn 2 người tuỳ ý có $C_{10}^2=45$ cách

a,

Chọn 2 nam có $C_7^2=21$ cách 

Xác suất chọn được 2 nam: $\dfrac{21}{45}=\dfrac{7}{15}$

b,

Chọn 1 nam 1 nữ có $C_7^1.C_3^1=21$ cách 

Xác suất chỉ chọn được 1 nam: $\dfrac{21}{45}=\dfrac{7}{15}$

c,

Chọn 2 nữ có $C_3^2=3$ cách

Xác suất chọn được ít nhất 1 nữ: $\dfrac{21+3}{45}=\dfrac{8}{15}$