Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\Delta ABC$ cân tại $A\to AB=AC$

Mà $AB=AD\to AD=AC$

$\to\Delta ACD$ cân tại $A$

Mà $AF\perp CD=F$

$\to F$ là trung điểm $CD$

Do $D\in$ tia đối của tia $AB, AB=AD\to D$ là trung điểm $BD$

Mà $AC\cap BF=G$

$\to G$ là trọng tâm $\Delta BCD$

$\to AC=3AG$

$\to BD=2AB=2AC=2\cdot 3AG=6AG$ 

b.Xét $\Delta ACD$ có: $AF\perp CD, DK\perp AC, CH\perp AD$

$\to AF, DK, CH$ là đường cao $\Delta ADC$

$\to AF, DK, CH$ đồng quy

c.Ta có: $AB=AC, AC=AD\to \Delta ABC,\Delta ACD$ cân tại $A$

$\to \widehat{BCD}=\widehat{BCA}+\widehat{ACD}=\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=180^o-\widehat{DCB}$

$\to 2\widehat{BCD}=180^o$

$\to \widehat{BCD}=90^o$

$\to BC\perp CD$

Ta có: $CH\perp AB\to \Delta CHA$ vuông tại $H$

Mà $\widehat{HAC}=\widehat{BAC}=45^o$

$\to \Delta AHC$ vuông cân tại $H$

$\to CH=HA<HA+AI=HI$

Ta có: $KD\perp AC\to \Delta DKA$ vuông tại $K$

Mà $\widehat{DAK}=\widehat{BAC}=45^o\to\Delta DKA$ vuông cân tại $K$

$\to \widehat{KDA}=45^o, KA=DK=\dfrac{AD}{\sqrt2}=\dfrac{AC}{\sqrt2}=AH=HC$

Ta có: $\Delta DKC$ vuông tại $K, F$ là trung điểm $CD$

$\to FK=FC=FD=\dfrac12CD$

$\to \Delta FDK,\Delta  FCK$ cân tại $F$

$\to \widehat{AKI}=\widehat{FKC}=\widehat{FCK}=\widehat{ACD}=\widehat{ADC}=90^o-\widehat{DBC}=90^o-\widehat{ABC}=\dfrac12\widehat{BAC}=22.5^o$

$\to \widehat{DKI}=\widehat{DKA}-\widehat{AKI}=67.5^o$

$\to \widehat{KID}=180^o-\widehat{KDI}-\widehat{DKI}=67.5^o=\widehat{DKI}$

$\to \Delta DKI$ cân tại $D$

$\to DI=DK=\dfrac{AD}{\sqrt2}=\dfrac{AB}{\sqrt2}$

$\to AI=DA-DI=AB-\dfrac{AB}{\sqrt2}=\dfrac{AB(\sqrt2-1)}{\sqrt2}$

Ta có: $HA=HC=\dfrac{AC}{\sqrt2}=\dfrac{AB}{\sqrt2}$

$\to HI=HA+AI=AB$

Ta có: $CH=\dfrac{AB}{\sqrt2}, HI=AB, DI=\dfrac{AB(\sqrt2-1)}{\sqrt2}$

$\to CH=\dfrac{HI}{\sqrt2}, DI=\dfrac{HI(\sqrt2-1)}{\sqrt2}$