a).

Xét ∆DBC

Ta có: ∆DBC nội tiếp đường tròn (O)

DB là đường kính (gt)

=> ∆DBC vuông tại C

=> BC ⊥ CD tại C

Ta có: AB = AC (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

OB = OC (bán kính)

=> OA là đường trung trực BC

=> OA ⊥ BC tại H

b).

Xét ∆OBA vuông tại B, đường cao BH

Ta có: OB²  = OH.OA ( hệ thức lượng )

Mà OB = R ( bán kính )

=> R² = OH.OA

Ta có: ∆BED nội tiếp đường tròn (O)

DB là đường kính (gt)

=> ∆BED vuông tại E

=> BD ⊥ BE tại E

=> BE là đường cao ∆BDA

Xét ∆BDA vuông tại B, đường cao BE

Ta có: BD² = DE.DA (hệ thức lượng)

Mà BD = 2R

=> BD² = 4R²

=> DE.DA = 4R²

Mà R² = OH.OA

=>DE.DA = 4OH.OA

c).

Ta có:∆ BED vuông tại E (cmt)

=> BE vuông DE

Mà DE ∈ DA

=> BE vuông DA 

Xét ∆ABM

Ta có: AH vuông BC

Mà M ∈ BC

=> AH vuông BM

=> AH là đường cao ∆ABM

Ta có: BE vuông DA (cmt)

Mà M ∈ AD

=> BE vuông AM

=> BE là đường cao ∆ABM

=> N là trực tâm ∆ABM

=> MN là đường cao thứ ba

=> MN vuông AB

Mà DB vuông AB

=> MN // DB 

😊

Bổ sung đề: $OB\cap (O)=D$

a,

$(O)$ có $\widehat{BCD}$ nội tiếp chắn đường kính BD nên $\widehat{BCD}=90^o$

$\Rightarrow BC\bot CD$

Có $AB, AC$ là các tiếp tuyến.

$\Rightarrow \Delta ABC$ cân tại A 

Mà $AH$ phân giác nên cũng là đường cao.

$\Rightarrow OA\bot BC=H$

b,

$\widehat{BED}=90^o$ do nội tiếp chắn BD.

$\Delta OAC$, $\widehat{OCA}=90^o, CH\bot OA$

$\Rightarrow OH.OA=OC^2=R^2$

$\Delta BDA$, $\widehat{ABD}=90^o, BE\bot AD$ có:

$DE.DA=BD^2=(2R)^2=4R^2=4OH.OA$

c,

$\Delta BAM$ có $AH\bot BM, BE\bot AM$

$\Rightarrow N$ là trực tâm

$\Rightarrow MN\bot BA$

Mà $DB\bot BA$ nên $MN//BD$