Đáp án+ Giải thích các bước giải:

  `a,` Xét tứ giác $AOBM$ có: 

`\hat{OAM} = 90^o `($MA$ là tiếp tuyến $(O)$ )

`\hat{OBM} = 90^o`($MB$ là tiếp tuyến $(O)$ )

`-> \hat{OAM} + \hat{OBM} = 180^o`
`-> tg AOBM`nội tiếp đường tròn (dhnb)

Ta có: tiếp tuyến $AM$ giao tiếp tuyến $MB$
`->AM = MB -> \triangle AMB` cân   tại M

`\hat{AMH} = \hat{BMH}` (tc  tiếp  tuyến )

`-> MH` là đường trung trực $AB$ (tính chất tam giác cân)

`-> MN ⊥ AB`
Xét tứ giác $AHIM$ có:

`\hat{AHM} = 90^o (MN ⊥ AB)`

`\hat{AIM} = 90^o (AI ⊥ MB)`

`-> tg AHIM` nội tiếp đường tròn (dhnb)

`b,`Xét `\triangle MAN` và `\triangle MQA` có: 

`\hat{M}` chung

`\hat{MAN} = \hat{MQA} = 1/2 sđ `$\mathop{AN}\limits^{\displaystyle\frown}$ (hệ quả góc nội tiếp)

`-> \triangle MAN` ~ `\triangle MQA (g.g)`

`-> {MA}/{MQ} = {MN}/{MA} => MA^2 = MN.MQ`
`c,`

Xét `\triangle ABM` có:

$BK$ phân giác `\hat{ABM}`

$BK$ là trung tuyến (K trung điểm $BM$)

`-> \triangle ABM` cân tại $B$
`-> BK` là đường cao

`-> BK ⊥ AM , mà AM ⊥ OA => BK //// OA`
Xét `\triangle ANM` có: $NK$ là đường cao

                                          $NK$ là đường trung tuyến 

`-> \triangle ANM` cân tại $N$ `-> \hat{NAM} = \hat{ANM}`

`\hat{OBA} = \hat{OMA}`(tứ giác $AOBM$ nội tiếp)

Mà `OM ⊥ AB => N` là điểm chính giữa cung $AB$
$\mathop{AN}\limits^{\displaystyle\frown}$ = $\mathop{BN}\limits^{\displaystyle\frown}$ `=> \hat{BAN} = \hat{NAM}`

`-> \hat{OBA} = \hat{BAN} `

`-> OB //// AN`(so le trong)

Ta lại có: `OB ⊥ BM`
                `AI ⊥ BM`
`-> OB //// AI`
`-> A,I,N` thẳng hàng (tiên đề $Ơ-clit$)