Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $MA,MB$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to MO\perp AB$

b.Gọi $MO\cap AB=H$

Vì $MA,MB$ là tiếp tuyến của $(O)\to H$ là trung điểm $AB\to HA=HB=\dfrac12AB$

Lại có: $\widehat{MAO}=\widehat{MBO}=90^o$

$\to \widehat{AOB}=360^o-\widehat{MAO}-\widehat{MBO}-\widehat{AMB}=130^o$

$\to \widehat{ACB}=\dfrac12\widehat{AOB}=65^o$

Mà $BC$ là đường kính của $(O)\to AB\perp AC$

$\to \sin\widehat{ACB}=\dfrac{AB}{BC}$

$\to \sin65^o=\dfrac{AB}{2R}$

$\to AB=2R\sin65^o$

$\to AB=10\sin65^o$

$\to AB\approx 9.06$

c.Ta có: $\Delta OAC$ cân tại $O, ON$ là phân giác góc $O$

$\to ON$ vừa là phân giác vừa là trung trực của $AC$

$\to A,C$ đối xứng qua $O$

$\to \widehat{NCO}=\widehat{NAO}=90^o$

$\to NC$ là tiếp tuyến của $(O)$

Ta có; $MA,MB$ là tiếp tuyến của $(O)\to MA=MB$

          $NA,NC$ là tiếp tuyến của $(O)\to NA=NC$

$\to MN=MA+NA=MB+NC$

d.Ta có: $S_{MNCB}=\dfrac12\cdot (MB+NC)\cdot BC$

$\to S_{MNCB}=\dfrac12MN\cdot BC$

$\to S_{MNCB}\ge \dfrac12BC\cdot BC$

$\to S_{MNCB}\ge \dfrac12BC^2$

$\to S_{MNCB}\ge \dfrac12\cdot (2R)^2$

$\to S_{MNCB}\ge 2R^2$

$\to S_{MNCB}\ge 50$

Dấu = xảy ra khi $MN=BC=2R=10$

$\to MN//BC\to MNCB$ là hình chữ nhật

$\to  MB=NC=\dfrac12MN=\dfrac12BC=5$