a/ Xét $\Delta{ABC}$:

$M,N$ là trung điểm $AB,AC$

$\to MN$ là đường trung bình $\Delta{ABC}$

$\to \begin{cases}MN//AC\\MN=\dfrac{AC}{2}\end{cases}$ (1)

Xét $\Delta{DAC}$:

$E,F$ là trung điểm $DC,DA$

$\to EF$ là đường trung bình $\Delta{DAC}$

$\to \begin{cases}EF//AC\\EF=\dfrac{AC}{2}\end{cases}$ (2)

(1)(2) $\to MNEF$ là hình bình hành

b/ $ABCD$ là hình thang cân

$\to \begin{cases}AD=BC\\\widehat{D}=\widehat{C}\end{cases}$

$AD=BC$ mà $F,N$ là trung điểm $AD,BC$

$\to FD=NC$

Xét $\Delta{FDE}$ và $\Delta{NCE}$:

$FD=NC(cmt)$

$\widehat{D}=\widehat{C}(cmt)$

$ED=EC$ ($E$ là trung điểm $CD$)

$\to \Delta{FDE}=\Delta{NCE}(c-g-c)$

$\to EF=EN$

Xét hình bình hành $MNEF$:

$EF=EN\to MNEF$ là hình thoi

a) xét tam giác ABC có:

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

=> MN là đường trung bình của tam giác ABC

=> MN=1/2BC & MN//BC (1)

Xét tam giác DBC có:

F là trung điểm của DB

E là trung điểm của DC

=> EF là đường trung bình của tam giác BBC

=> EF=1/2BC & EF//BC (2)

Từ (1) & (2) => MN=EF & MN//BC

=> MNEF là hình bình hành

b) Giả sử ABCD là hình thang cân

=> AD=BC(tính chất hình thang cân) (1)

Xét tam giác ABC có:

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

=> MN là đường trung bình của tam giác ABC => MN=1/2BC (2)

Chứng minh tương tự ta được: NE=1/2AD; FE=1/2BC; FM=1/2AD (3)

Từ (1); (2) & (3) => MN=NE=FE=FM

=> MNEF là hình thoi

Vậy nếu ABCD là hình thang cân thì MNEF là hình thoi