Đáp án: $a)m∈\{1;3\}$

             $b)S(-2;3)$

             `c)OH_{max}=\sqrt{13}⇔m=\frac{8}{3}`

             `d)S_{OMN}=\frac{1}{4}`

Giải thích các bước giải:

`a)(d)∩Ox=A⇒ A(\frac{2m-1}{m-2};0) (m\ne2) ⇒ OA=|\frac{2m-1}{m-2}|`

`(d)∩Oy=B⇒ B(0;1-2m)⇒ OB=|1-2m|=|2m-1|`

Để có $ΔOAB⇔2m-1\neq0⇔m\neq0,5$

Dễ thấy $ΔOAB$ cân tại $O$

`⇔ OA=OB⇔ |\frac{2m-1}{m-2}|=|2m-1|`

`⇔|\frac{2m-1}{m-2}|-|2m-1|=0`

`⇔|2m-1|(|\frac{1}{m-2}|-1)=0`

`⇔|\frac{1}{m-2}|-1=0` (do $|2m-1|\neq0$)

`⇔|\frac{1}{m-2}|=1`

`⇔|m-2|=1`

$⇔\left[ \begin{array}{l}m-2=1\\m-2=-1\end{array} \right.$

$⇔\left[ \begin{array}{l}m=3\\m=1\end{array} \right.$ (thỏa mãn điều kiện)

b) Gọi $S(x_0;y_0)$ là điểm mà $(d)$ luôn đi qua với mọi $m$

$⇔y_0=(m-2)x_0-2m+1∀m$

$⇔y_0=mx_0-2x_0-2m+1∀m$

$⇔y_0+2x_0-1=m(x_0-2)∀m$

$⇔\large \left \{ {{y_0+2x_0-1=0} \atop {x_0-2=0}} \right.$

$⇔\large \left \{ {{x_0=2} \atop {y_0=-3}} \right.$

$⇒(d)$ luôn đi qua điểm $S(2;-3)$ cố định

c) Kẻ $OH⊥(d)(H∈(d))$

(Ở đây bạn vẽ hình ra nhé)

Ta có: $OH≤OS=\sqrt{(0-2)^2+(0+3)^2}=\sqrt{13}$

Dấu bằng xảy ra $⇔OS⊥(d)$

Gọi phương trình đường thẳng $OS$ có dạng $y=ax+b$

Ta có: $\large \left \{ {{O∈OS} \atop {S∈OS}} \right.$ 

$⇔\large \left \{ {{0=a.0+b} \atop {-3=2.a+b}} \right.$ 

$⇔\large \left \{ {{a=-1,5} \atop {b=0}} \right.$ 

$⇒(OS)y=-1,5x$

Ta có: `OS⊥(d) ⇔ -1,5.(m-2)=-1⇔ m-2=\frac{2}{3} ⇔ m=\frac{8}{3}`

d) Khi $m=0⇒(d)y=-2x+1$

$(d)∩Ox=M⇒M(0,5;0)⇒OM=|0,5|=0,5$

$(d)∩Oy=N⇒N(0;1)⇒ON=|1|=1$

Dễ thấy $ΔOMN$ vuông tại $O$

`⇒S_{OMN}=\frac{OM.ON}{2}=\frac{0,5.1}{2}=\frac{1}{4}`