Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$D,E$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$

$\to DE$ là đường trung bình của tam giác $ABC$

$\to DE//BC$ 

$\to BCED$ là hình thang.

Mà $\Delta ABC$ cân ở $A$ nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\to \widehat{DBC}=\widehat{ECB}$

$\to BCED$ là hình thang cân.

b) Ta có:

$\Delta ABC$ cân ở $A$; $AH\bot BC=H$ $\to H$ là trung điểm của $BC$

$\to H,E$ lần lượt là trung điểm của $BC,AC$

$\to EH$ là đường trung bình của tam giác $ABC$

$\to EH//AD;AH=\dfrac{1}{2}AB$ $\to EH//AD;EH=AD$

$\to ADHE$ là hình bình hành.

Mà $AH\bot BC\to AH\bot DE$

$\to ADHE$ là hình thoi.

c) Ta có:

Do $H,F$ đối xứng nhau qua $E$

$\to E$ đồng thời là trung điểm của $HF$ và $AC$

$\to AHCF$ là hình bình hành.

Mà $\widehat{AHC}=90^0$

$\to AHCF$ là hình chữ nhật.

d) Ta có:

$AHCF$ là hình vuông.

$ \Leftrightarrow AH = HC$

$ \Leftrightarrow \Delta AHC$ vuông cân ở $H$.

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \widehat {ACH} = {45^0}\\
 \Leftrightarrow \widehat {ACB} = \widehat {ABC} = {45^0}
\end{array}$

$ \Leftrightarrow \Delta ABC$ vuông cân ở $A$.

Vậy $\Delta ABC$ vuông cân ở $A$ là điều kiện cần tìm.