a/ Xét $\Delta{AMN}$ và $\Delta{CMI}$:

$AM=CM$ ($M$ là trung điểm $AC$)

$\widehat{AMN}=\widehat{CMI}$ (đối đỉnh)

$MI=MN$ ($N$ đối xứng $I$ qua $M$)

$\to \Delta{AMN}=\Delta{CMI}(c-g-c)$

$\to \widehat{MAN}=\widehat{MCI}$ (2 cạnh tương ứng)

mà 2 góc ở vị trí so le trong

$\to AN//CI$ 

$\Delta{ABC}$ cân tại $A$ mà $AI$ là trung tuyến

$\to AI$ là đường cao $BC$

$\to AI\perp BC$ mà $AN//CI$

$\to AN\perp AI$

Xét $\Delta{AMI}$ và $\Delta{CMN}$:

$AM=CM$ ($M$ là trung điểm $AC$)

$\widehat{AMN}=\widehat{CMI}$ (đối đỉnh)

$MI=MN$ ($N$ đối xứng $I$ qua $M$)

$\to \Delta{AMI}=\Delta{CMN}(c-g-c)$

$\to \widehat{MAI}=\widehat{MCN}$ (2 góc tương ứng)

mà 2 góc ở vị trí so le trong

$\to CN//AI$ mà $AN\perp AI$

$\to CN\perp AN$

Xét tứ giác $AICM$: $\begin{cases}AI\perp CI\to \widehat{AIC}=90°\\CN\perp AN\to \widehat{ACN}=90°\\AI\perp AN\to \widehat{NAI}=90°\end{cases}\to AICM$ là hình chữ nhật

b/ Hình chữ nhật $AICM$ là hình vuông

$\to AI=CI$ mà $I$ là trung điểm $BC$

$\to AI=\dfrac{BC}{2}$ mà $AI$ là trung tuyến $BC$

$\to \Delta{ABC}$ vuông tại $A$

A

XÉT TAM GIÁC ABC CÂN TẠI A(GT)

CÓ: AI LÀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN(GT)

=>AI ĐỒNG THỜI LÀ ĐƯỜNG CAO( TÍNH CHẤT TG CÂN)

=>AIC=90°( TC ĐƯỜNG CAO)

XÉT TG AICN CÓ: M LÀ TD CỦA AC(GT)

M LÀ TD CỦA NI( VÌ N ĐỐI XỨNG I QUA M)

AC CẮT NI TẠI M

=>TG AICN LÀ HBH( DHNB HBH)

CÓ: AIC=90°(CMT)

VẬY TH AICN LÀ HCN( DHNB HCN)

B

GIẢ SỬ TAM GIÁC ABC VUÔNG CÂN TẠI A

=>AI=1/2BC( TC TG CÂN)

MÀ CI=1/2BC( VÌ AI LÀ ĐTT)

NÊN AI=CI=1/2BC

XÉT TG AICN LÀ HBH CÓ: AI=CI(CMT)

=>TG AICN LÀ HÌNH THOI(DHNB HT)

CÓ AIC=90°( CÂU A)

NÊN TG AICN LÀ HÌNH VUÔNG( DHNB HV)

VẠY TG AICN LÀ HV

<=> TG ABC VUÔNG CÂN TẠI A