Đáp án:

Giải thích các bước giải:

$x^2+y^2=z^2$ $(*)$

*) Giả sử $x, y, z$ nguyên tố cùng nhau

Thật vậy, nếu $(x_{0}; y_{0}; z_{0})$ là nghiệm phương trình $(*)$ và có ƯCLN là $d$

Khi đó, $x_{0}=dx_{1}; y_{0}=dy_{1}; z_{0}=dz_{1}$

$⇒ (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ cũng là nghiệm của phương trình.

Mặt khác: Nếu 2 số có ước là $d$ thì số còn lại cũng chia hết cho $d$

Mà $x, y, z$ nguyên tố cùng nhau nên $d=1$

$⇒$ Ba số $x, y, z$ đôi một nguyên tố cùng nhau.

Khi đó, $x, y$ không cùng chẵn

và $x, y$ không cùng lẻ (do nếu $x, y$ là các số lẻ thì $z^2=x^2+y^2$ chia 4 dư 2; vô lý)

$⇒ x, y$ có một số chẵn, một số lẻ.

Không mất tính tổng quát, giả sử $x$ chẵn, $y$ lẻ

$⇒ z$ lẻ

Có: $(*) ⇔ y^2=z^2-x^2=(z-x)(z+x)$ $(1)$

Vì $z-x; z+x$ là các số lẻ

Gọi $d$ là ước chung lớn nhất của $z-x$ và $z+x$ ($d$ lẻ)

Khi đó, $\begin{cases}z-x \vdots d \\z+x \vdots d\end{cases}$

$⇒ \begin{cases}2x \vdots d \\2z \vdots d\end{cases}$

Vì $d$ lẻ nên $\begin{cases}x \vdots d \\z \vdots d\end{cases}$

Vì $(x; z)=1$ nên $d=1$

$⇒ (z-x; z+x)=1$ $(2)$

$⇒ z-x$ và $z+x$ là các số chính phương

Đặt: $z+y=a^2; z-y=b^2$ với $(a; b)=1$; $a, b$ lẻ; $a>b$

Khi đó, $\left\{\begin{array}{l}x=ab \\y=\dfrac{a^2-b^2}{2} \\z=\dfrac{a^2+b^2}{2}\end{array}\right.$