CÂU 6:

Chứng minh rằng hai số tự nhiên liên tiếp nguyên tố cùng nhau.

GIẢI 

Gọi số thứ nhất là n, số thứ hai là n+1, ƯC (n, n+1)=a

Ta có: n chia hết cho a (1)

 n+1 chia hết cho a (2)

Từ (1) và (2) ta được:

n+1-n chia hết cho a

=> 1 chia hết cho a

=> a=1

=> ƯC (n, n+1) = 1

=> n và n+1 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Vậy 2 số tự nhiên liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau

CÂU 7: 

Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng là 168, ƯCLN của chúng bằng 12.

GIẢI

Đặt 2 số tự nhiên đó là: a = 12.m và b = 12.n

với UCLN (m; n) = 1

ta có: a + b = 168 => 12.m + 12.n = 168

=> (m + n).12 = 168 => m + n = 14

CÂU 8: 

Tìm hai số tự nhiên biết hiệu của chúng là 168, ƯCLN của chúng bằng 56, các số đó trong khoảng từ 600 đến 800.

GIẢI 

Gọi 2 số tự nhiên là a và b

Có a – b = 168

Hay ta có a = 56m, b = 56n (m, n nguyên tố cùng nhau)

Có 56m – 56n = 168 => 56.(m - n) = 168 hay m – n = 3

Lại có 600 < 56.m và 56.n < 800 => 10 < m, n < 15

Vậy m = 14, n = 11

Hai số cần tìm là 784 và 616

CÂU 9: 

Chứng minh rằng: 3n + 1 và 4n + 1 (n thuộc N) là 2 nguyên tố cùng nhau.

GIẢI 

Ta có:3n+1 chia hết cho d => 4(3n+1) chia hết cho d => 12n+4 d

4n+1 chia hết cho d => 3(3n+1) chia hết cho d => 12n+3 d

(12n+4 )- (12n+3) chia hết cho d

1 chia hết cho d

vậy 3n+1 và 4n+1 là hai số nguyên tố cùng nhau

CÂU 10: 

Biết rằng 4n + 3 và 5n + 2 là hai số không nguyên tố cùng nhau. Tìm ƯCLN (4n + 3, 5n + 2).

GIẢI

Gọi ƯCLN(4n+3,5n+2) = d(d ∈ ℕ )

⇒4n+3 ⋮d; 5n+2 ⋮d

⇒ 5.(4n+3)⋮d; 4.(5n+2)⋮d

⇒20n+15 ⋮d; 20n+8 ⋮d

⇒(20n+15-20n-8)⋮d

⇒7 ⋮d

Do đó d ∈ Ư(7)={1;7}

Mà đầu bài cho là (4n+3,5n+2) ≠ 1

⇒d=7

Vậy ƯCLN(4n+3,5n+2) = 7

Bài 6:

                    Giải

Gọi số thứ nhất là k, số thứ hai là k + 1, ƯC(k, k + 1) = a  (k, k + 1 ∈ N; a ∈ N*)

⇒ k ⋮ a và k + 1 ⋮ a 

⇒ k + 1 - k ⋮ a

⇒ 1 ⋮ a

⇒ a ∈ Ư(1)

⇒ a = ±1

Mà a ∈ N*

⇒ a = 1

⇒ ƯC(k, k + 1) = 1

⇒ k và k + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau

Vậy 2 số tự nhiên liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau

Bài 7:

                 Giải

Gọi 2 số tự nhiên đó là: x = 12a và y = 12b  [ƯCLN(a; b) = 1]

Theo đầu bài ta có: x + y = 168

⇒ 12a + 12b = 168

⇒ 12(a + b) = 168

⇒ a +  b = 14

Mà ƯCLN(a; b) = 1

⇒ a = 1; b = 13 hoặc a = 3; b = 11 hoặc a = 5; b = 9

+) Với a = 1; b = 13

⇒ x = 12.1 và y = 12.13

⇒ x = 12 và y = 156

+) Với a = 3; b = 11

⇒ x = 12.3 và y = 12.11

⇒ x = 36 và y = 132

+) Với a = 5; b = 9

⇒ x = 12.5 và y = 12.9

⇒ x = 60 và y = 108

Vây 2 số tự nhiên đó là 12 và 156; 36 và 132; 60 và 108

Bài 8:

               Giải

Gọi 2 số tự nhiên là x và y  (x, y ∈ N*)

Và x = 56a; y = 56b  [ƯCLN(a, b) = 1]

Theo đầu bài ta có: x – y = 168

⇒ 56a – 56b = 168

⇒ 56(a - b) = 168

⇒ a – b = 3

Lại có 600 < x;y< 800

hay 600 < 56a, 56b < 800

⇒ 10 < a,b < 15

Mà ƯCLN(a, b) =1

⇒ a = 14, b = 11

⇒ x = 56.14 và y = 56.11

⇒ x = 784 và y = 6 16

Vậy hai số cần tìm là 784 và 616

Bài 9:

                     Giải

Giả sử ƯCLN(3n + 1; 4n + 1) = d  (d ∈ N*)

⇒ 3n + 1 ⋮ d và 4n + 1 ⋮ d

⇒ 4(3n + 1) ⋮ d và 3(4n + 1) ⋮ d

⇒ 12n + 4 ⋮ d và 12n + 3 ⋮ d

⇒ 12n + 4 - 12n - 3 ⋮ d

⇒ 1 ⋮ d

⇒ d ∈ Ư(1)

⇒ d = ±1

Mà d ∈ N*

⇒ d = 1

⇒ 3n + 1 và 4n + 1 là 2 nguyên tố cùng nhau

Vậy 3n + 1 và 4n + 1 là 2 nguyên tố cùng nhau

Bài 10:

            Giải

Gọi ƯCLN(4n + 3,5n + 2) = d   (d ∈ N* )

⇒ 4n + 3 ⋮ d và 5n + 2 ⋮ d

⇒ 5(4n + 3) ⋮ d và 4(5n + 2) ⋮ d

⇒ 20n + 15 ⋮ d; 20n + 8 ⋮ d

⇒ 20n + 15 - 20n - 8 ⋮ d

⇒ 7 ⋮ d

⇒ d ∈ Ư(7)

⇒ d ∈ {±1;±7}

Mà d ∈ N*

⇒ d ∈ {1;7}

Mặt khác: Theo đầu bài ta có: ƯCLN(4n + 3, 5n + 2) ≠ 1

⇒ d=7

Vậy ƯCLN(4n+3,5n+2) = 7