Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $BI$ là phân giác $\hat B$

$\to \dfrac{IA}{IH}=\dfrac{BA}{BH}$

$\to IH\cdot AB=IA\cdot BH$

b.Xét $\Delta ABH,\Delta ABC$ có:
Chung $\hat B$

$\widehat{AHB}=\widehat{BAC}(=90^o)$

$\to \Delta HBA\sim\Delta ABC(g.g)$

$\to\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{BH}{BA}$

$\to AB^2=BH\cdot BC$

c.Ta có: $BE$ là phân giác $\hat B$

$\to \dfrac{AE}{EC}=\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{BH}{BA}=\dfrac{IH}{IA}$

d.Ta có:

$\widehat{AEI}=\widehat{AEB}=90^o-\widehat{ABE}=90^o-\widehat{IBH}=\widehat{BIH}=\widehat{AIE}$

$\to \Delta AIE$ cân tại $A$

a, Có: `\hat{ABI}=\hat{IBH}`⇒ `BI` là tia phân giác của `\hat{B}`

⇒`\frac{AB}{HB}=\frac{AI}{IH}`

⇒`IA.BH=IH.AB` `(đpcm)`

b, Xét ΔABC và ΔHBA, có:

$\widehat{BHA}=\widehat{BAC}(=90^o)$ `(1)`

$\hat{B}$ $chung$ `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` ⇒ `ΔABC ~ ΔHBA` `(g.g)`

⇒`\frac{AB}{BH}=\frac{BC}{AB}`

⇒`AB^2=BH.BC` `(đpcm)`

c, Có: `BE` là tia phân giác của `\hat{B}` $(gt)$

⇒`\frac{EC}{AE}=\frac{BC}{AB}`

mà `\frac{AB}{BH}=\frac{BC}{AB}` (theo phần b)

⇒`\frac{EC}{AE}=\frac{AB}{BH}`

Lại có: `\frac{AB}{HB}=\frac{AI}{IH}` (theo phần a)

⇒ `\frac{EC}{AE}=\frac{AI}{IH}`

hay `\frac{AE}{EC}=\frac{IH}{IA}` `(đpcm)`

d, Có: 

`\hat{HIB}=90^o-\hat{HBI}` (định lý tổng 3 góc trong Δ)

`\hat{AEB}=90^o-\hat{ABE}` (định lý tổng 3 góc trong Δ)

mà `\hat{HBI}=\hat{ABE}` $(gt)$

⇒`\hat{HIB}=\hat{AEB}`

Lại có: `\hat{HIB}=\hat{AIE}` `(đđ)`

⇒`\hat{AIE}=\hat{AEB}`

⇒ `ΔAIE` cân tại `A` `(đpcm)`

* Gửi bạn. Dù có hơi muộn :`)