c)

Từ ý b) có $\widehat{BDE}=\widehat{BPK}$

Tức là $\widehat{BDI}=\widehat{BPD}$

$\Rightarrow \Delta BDI\backsim\Delta BPD\left( g.g \right)$

$\Rightarrow B{{D}^{2}}=BI.BP$

Kẻ $DN\bot AB$

$\Rightarrow B{{D}^{2}}=BN.BA$ (hệ thức lượng)

$\Rightarrow BI.BP=BN.BA$

$\Rightarrow ANIP$ nội tiếp

Ta có:

+   $\widehat{IEN}=\widehat{ACB}$  (vì $BCDE$ nội tiếp)

+   $\widehat{ACB}=\widehat{APB}$  (cùng chắn cung $AB$)

+   $\widehat{APB}=\widehat{INE}$  (vì $ANIP$ nội tiếp)

$\Rightarrow \widehat{IEN}=\widehat{INE}$

$\Rightarrow \Delta INE$ cân tại $I$

$\Rightarrow IN=IE\,\,\,\left( 1 \right)$

Từ $\widehat{IEN}=\widehat{INE}$

Mà: $\begin{cases}\widehat{IEN}+\widehat{IDN}=90{}^\circ\\\widehat{INE}+\widehat{IND}=90{}^\circ\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{IDN}=\widehat{IND}$

$\Rightarrow \Delta IND$ cân tại $I$

$\Rightarrow IN=ID\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$

$\Rightarrow IE=ID$

$\Rightarrow I$ là trung điểm $ED$