a) Ta có:

$AC,\,BD,\, CD$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A,\,B, \,M$

$\Rightarrow \widehat{CAO} = \widehat{CMO} = \widehat{DMO} = \widehat{DBO} = 90^o$

Xét tứ giác $OACM$ có:

$\widehat{CAO} + \widehat{CMO} = 180^o$

Do đó $OACM$ là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác $OBDM$ có:

$\widehat{DMO} + \widehat{DBO} = 180^o$

Do đó $OBDM$ là tứ giác nội tiếp

b) Ta có:

$CA, \, CM$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A,\, M$

$\Rightarrow CA = CM$

mà $OA = OM = R$

nên $OC$ là trung trực của $AM$

$\Rightarrow OC\perp AM$

$\Rightarrow \widehat{OEM} = 90^o$

Tương tự, ta được:

$OD$ là trung trực của $BM$

$\Rightarrow \widehat{OFM} = 90^o$

Bên cạnh đó:

$\widehat{AMB} = \widehat{EMF} = 90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow \widehat{OEM} = \widehat{OFM} = \widehat{EMF} = 90^o$

$\Rightarrow OEMF$ là hình chữ nhật

c) Xét $ΔMOC$ vuông tại $M$ có:

$I$ là trung điểm cạnh huyền $OC$

$\Rightarrow IM = IC = IO$

$\Rightarrow ΔIOM$ cân tại $I$

$\Rightarrow \widehat{OIM} = 180^o - 2\widehat{IOM} = 180^o - 2\widehat{COM}\quad (1)$

Xet $ΔMOD$ vuông tại $M$ có:

$K$ là trung điểm cạnh huyền $OD$

$\Rightarrow KM = KD = KO$

$\Rightarrow ΔKMD$ cân tại $K$

$\Rightarrow \widehat{MKD} = 180^o - 2\widehat{KDM} = 180^o - 2\widehat{ODM}\quad (2)$

 Ta lại có:

$\widehat{COM} = \widehat{ODM}$ (cùng phụ $\widehat{MOD}$) $(3)$

$(1)(2)(3)\Rightarrow \widehat{OIM} = \widehat{MKD}$

Xét tứ giác $OIMK$ có:

$\widehat{OIM} = \widehat{MKD} \quad (cmt)$

Do đó $OIMK$ là tứ giác nội tiếp

d) Ta có:

$CA = CM;\, DB = DM$ (câu b)
$\Rightarrow AC + BD = CM + DM = CD = 10\, cm$

$\Rightarrow S_{COD} = \dfrac{1}{2}OM.CD = \dfrac{1}{2}.R.10 = 5R$

Ta lại có:

$I$ là trung điểm $OC$

$\Rightarrow S_{MOI} = \dfrac{1}{2}S_{MOC}$

$K$ là trung điểm $OD$

$\Rightarrow S_{MOK} = \dfrac{1}{2}S_{MOD}$

Do đó:

$S_{OIMK} = S_{MOI} + S_{MOK} = \dfrac{1}{2}(S_{MOC} + S_{MOD}) = \dfrac{1}{2}S_{COD} = \dfrac{5R}{2}$

Đáp án:

Giải thích các bước giải: