Đáp án:

a) Xét tam giác ABD có: M, N là trung điểm của AB và BD

=> MN là đường trung bình của tam giác 

=> MN// AD và MN = 1/2 AD

Tương tự, tam giác ACD có PQ là đường trung bình

=> PQ// AD và PQ=1/2 AD

=> MN//PQ (//AD) và MN=PQ (=1/2 AD)

Xét tứ giác MNPQ có MN=PQ, MN//PQ

=> MNPQ là hình bình hành.

Vậy MNPQ là hình bình hành

b) Để hình bình hành MNPQ là hình thoi thì MN = MQ

ta có MQ là đường trung bình của tam giác ABC

=> MQ// BC và MQ =1/2 BC

Mà MN= 1/2 AD

=> 1/2 BC = 1/2 AD khi MN = MQ

=> BC = AD

Vậy AD = BC thì MNPQ là hình thoi

c) Để hình bình hành MNPQ là hình chữ nhật thì:

MN ⊥ MQ

=> AD ⊥ BC (do MN// AD, MQ // BC)

d) Để hình bình hành MNPQ là hình vuông thì:

MN ⊥  MQ và MN = MQ

=> AD ⊥ BC và AD = BC

Vậy AD ⊥  BC và AD = BC thì MNPQ là hình vuông.