a) kẻ $OH \bot AB$

Xét $\Delta OAB$ cân tại $O$, ta có:

$OH$ vùa là đường cao cũng vừa là đường trung tuyến

$ \Rightarrow HA = HB = \dfrac{1}{2}AB$

Mà $ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {OH \bot AB} \\ {BC \bot AB(gt)} \end{array}} \right. \\ \Rightarrow OH//BC \\ $

 Xét $\Delta CAB$ có $OH//BC$, ta có:

$ \dfrac{{AH}}{{AB}} = \dfrac{{AO}}{{AC}} \\ \Rightarrow \dfrac{{AO}}{{AC}} = \dfrac{1}{2} \\ \Rightarrow AC = 2AO \\ AC = AO + OC \\ \Rightarrow AO = OC \\ $

 Vậy $O$ là trung điểm của $AC$

b) Ta có: $ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AD//BF} \\ {AD \bot OB} \end{array}} \right. \\ \Rightarrow FB \bot OB \\ \Rightarrow \widehat {OBF} = {90^ \circ } \\ $

Xét $\Delta ODA$ và $\Delta OBF$, ta có:

$\widehat O$ là góc chung

$\widehat {OBF} = \widehat {ODA}( = {90^ \circ })$

$ \Rightarrow \Delta ODA \sim \Delta OBF(g - g)$

$ \Rightarrow \dfrac{{OD}}{{OB}} = \dfrac{{OA}}{{OF}} \\ \Rightarrow OA.OB = OD.OF(OA = OB) \\ \Rightarrow OA.OA = OD.OF \\ $

c) Xét $ \Delta ODA \bot D \\ OD = OA\sin \widehat {AOD} \\ = 10.\sin {45^ \circ } \\ = 5\sqrt 2 \\ OA.OA = OD.OF \\ \Leftrightarrow 10.10 = 5\sqrt 2 .OF \\ \Rightarrow OF = 10\sqrt 2 (cm) \\ $