Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to AB\perp OB, AC\perp OC$

$\to A,B,O,C\in$ đường tròn đường kính $OA$

$\to$Tâm đường tròn là trung điểm $OA,$ bán kính bằng $\dfrac12OA$ 

b.Vì $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to OA\perp BC,OA$ là trung trực của $BC$

Gọi $OA\cap BC=E\to E$ là trung điểm $BC\to EB=EC=\dfrac12BC=12$

Ta có: $\Delta OBA$ vuông tại $B,BE\perp OA$

$\to \dfrac{1}{BE^2}=\dfrac{1}{BO^2}+\dfrac{1}{BA^2}$ (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

$\to \dfrac{1}{BE^2}=\dfrac{1}{R^2}+\dfrac{1}{BA^2}$

$\to \dfrac{1}{12^2}=\dfrac{1}{15^2}+\dfrac{1}{BA^2}$

$\to BA=20$

$\to OA=\sqrt{OB^2+AB^2}=\sqrt{15^2+20^2}=25$

c.Ta có: $AB$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to\widehat{ABC}=\widehat{BDC}$

Vì $CD$ là đường kính của $(O)\to DB\perp BC$

Lại có $BH\perp CD\to \widehat{BDC}=\widehat{BDH}=90^o-\widehat{DBH}=\widehat{HBC}$

$\to \widehat{ABC}=\widehat{CBH}$

$\to BC$ là phân giác $\widehat{ABH}$

d.Gọi $BD\cap AC=F$

Ta có: $BD\perp BC\to BD//OA\to DF//OA$

Mà $O$ là trung điểm $DC\to OA$ là đường trung bình $\Delta DCF$

$\to A$ là trung điểm $CF$

$\to AF=AC$

Vì $BH\perp CD, AC\perp OC\to BH//CF$

$\to \dfrac{IB}{AF}=\dfrac{DI}{DA}=\dfrac{IH}{AC}$

$\to IB=IH$