Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\widehat{MDC}=\widehat{MEC}=90^o$
$\to MDEC$ nội tiếp đường tròn đường kính $MC$
b.Ta có:
$\widehat{IBM}=180^o-\widehat{ABM}=\widehat{ACM}=\widehat{ECM}=180^o-\widehat{EDM}=\widehat{IDM}$
$\to BDMI$ nội tiếp
$\to \widehat{BIM}=180^o-\widehat{BDM}=90^o$
$\to BI\perp MI$
$\to MI\perp AB$
c.Xét $\Delta ADE,\Delta AMC$ có:
Chung $\hat A$
$\widehat{AED}=\widehat{AMC}$ vì $MCED$ nội tiếp
$\to \Delta ADE\sim\Delta ACM(g.g)$
$\to\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AM}$
$\to AE\cdot AC=AM\cdot AD$
Xét $\Delta ABD,\Delta AIM$ có:
Chung $\hat A$
$\widehat{ADB}=\widehat{AIM}(=90^o)$
$\to\Delta ABD\sim\Delta AMI(g.g)$
$\to \dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AD}{AI}$
$\to AB\cdot AI=AD\cdot AM$
$\to AE\cdot AC=AB\cdot AI$
d.Vì $M, N$ đối xứng qua $AB, MI\perp AB$
$\to MN\perp AB=I$ là trung điểm $MN$
Tương tự $MF\perp AC=E$ là trung điểm $MF$
$\to IE$ là đường trung bình $\Delta MNF$
$\to IE//NF$
$\to ID//NH$
Do $I$ là trung điểm $MN\to D$ là trung điểm $MH$
$\to BC\perp HM=D$ là trung điểm $MH$
$\to BC$ là trung trực $MH$
$\to M, H$ đối xứng qua $BC$
Lại có: $M, F$ đối xứng qua $AC$
$\to \widehat{DMI}=\widehat{ABC}=\widehat{AMC}=\widehat{DMC}=\widehat{DHC}$
$\to CH//MI$
Do $MI\perp AB\to CH\perp AB$
Lại có $AD\perp BC\to AH\perp BC$
$\to H$ là trực tâm $\Delta ABC$