Giải thích các bước giải:

 Ta có:

$\begin{array}{l}
{a^5} - 5{a^3} + 4a\\
 = a\left( {{a^4} - 5{a^2} + 4} \right)\\
 = a\left( {{{\left( {{a^2}} \right)}^2} - {a^2} - 4{a^2} + 4} \right)\\
 = a\left( {{a^2} - 1} \right)\left( {{a^2} - 4} \right)\\
 = \left( {a - 2} \right)\left( {a - 1} \right)a\left( {a + 1} \right)\left( {a + 2} \right)
\end{array}$

Với $a\in Z$ thì $a - 2,a - 1,a,a + 1,a + 2$ là $5$ số nguyên liên tiếp.

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {a - 2} \right)\left( {a - 1} \right)a\left( {a + 1} \right)\left( {a + 2} \right) \vdots 3\\
\left( {a - 2} \right)\left( {a - 1} \right)a\left( {a + 1} \right)\left( {a + 2} \right) \vdots 5
\end{array} \right.$

 Và trong $5$ số $a - 2,a - 1,a,a + 1,a + 2$ luôn có $1$ số chia hết cho $4$ và ít nhất $1$ số chia hết cho $2$ nhưng không chia hết cho $4$.

Khi đó ta luôn có: $\left( {a - 2} \right)\left( {a - 1} \right)a\left( {a + 1} \right)\left( {a + 2} \right) \vdots 8$

Như vậy: $\left( {a - 2} \right)\left( {a - 1} \right)a\left( {a + 1} \right)\left( {a + 2} \right) \vdots 120$ (Do $3$ số $3,,5,8$ đôi một nguyên tố cùng nhau và $3.5.8=120$)

Hay $\left( {{a^5} - 5{a^3} + 4a} \right) \vdots 120,\forall a \in Z$

Ta có điều phải chứng minh.

Đáp án: 

Giải thích các bước giải:

a^5-5^3+4a

= a(a^4-5a^2+4)

=a(a^4-2a^3+2a^3-4a^2-a^2+4)

=a[a^3(a-2)+2a^2(a-2)-(a-2)(a+2)]

=a(a-2)(a^3+2a^2-a-2)

=a(a-2)[a^3-a^2+3a^2-3a+2a-2]

=a(a-2)[a^2(a-1)+3a(a-1)+2(a-1)]

=a(a-2)(a-1)(a^2+3a+2)

=a(a-2)(a-1)(a^2+a+2a+2)

=a(a-2)(a-1[a(a+1)+2(a+1)]

=(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) chia hết cho 120