$a) \sqrt{2}x^{2} + (1+\sqrt{2})x + 1 \geq 0 \\ \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x\geq-\frac{\sqrt{2}}{2} \\ x \leq -1\end{matrix}\right. $ $\\$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình trên là S = (-$\infty; -1] \cup [-\frac{\sqrt{2}}{2};+\infty)$ 

$b) -3x^{2} + 7x -4 <0 \\ \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x<1 \\ x>\frac{4}{3} \end{matrix}\right.$ $\\$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình trên là S = $(-\infty;1)\cup(\frac{4}{3};+\infty)$

$c) \frac{x^{2}-9x+14}{x^{2}+9x+14}\leq0(x\neq-2;x\neq-7) \\ $ Nghiệm của tử: $x^{2}-9x+14=0 \\ \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x=2\\x=7\end{matrix}\right. \\$ Nghiệm của mẫu: $x^{2} +9x +14 = 0 \\ \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x=-2\\x=-7\end{matrix}\right.\\$ Lập bảng xét dấu:

$\begin{array}{|c|c|}\hline\text{$x$}&\text{$-\infty \ \ \ -7 \ \ \ -2 \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 7 \ \ \ +\infty$}\\\hline\text{$x^{2}-9x+14$}&\text{$+ \ \ \ \ | \ + \ \ | \ + \ 0- 0 \ + $}\\\hline\text{$x^{2} + 9x+14$}&\text{$+ \ \ \ \ 0 \ - \ 0 \ + \ | \ + \ | \ + $}\\\hline\text{$\frac{x^{2}-9x+14}{x^{2}+9x+14}$}&\text{$+ \ \ \ \ || \ - \ || \ + \ 0 \ - \ 0 \ +$}\\\hline\end{array}$

Dựa vào bảng xét dấu: Ta thấy bất phương trình ban đầu đúng khi và chỉ khi: $\\$ $\left[\begin{matrix}-7 < x < -2\\2\leq x\leq7\end{matrix}\right.\\$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình ban đầu là: S = $(-7;-2)\cup[2;7]$

$d) \frac{(2x-1)(3-x)}{x^{2}-5x+4}>0(x\neq1;x\neq4)$ $\\$Nghiệm của tử: $(2x-1)(3-x)=0$ $\\$ $\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x=\frac{1}{2}\\x=3\end{matrix}\right.\\$ Nghiệm của mẫu: $x^{2} -5x +4 = 0$ $\\$ $\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x=1\\x=4\end{matrix}\right.\\$ Lập bảng xét dấu:

$\begin{array}{|c|c|}\hline\text{$x$}&\text{$-\infty \ \ \ \ \frac{1}{3} \ \ \ \ 1 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 4 \ \ \ \ +\infty$}\\\hline\text{$(2x-1)(3-x)$}&\text{$-0+|+0-|- $}\\\hline\text{$x^{2}-5x+4$}&\text{$+|+0-|-0+$}\\\hline\text{$\frac{(2x-1)(3-x)}{x^{2}-5x+4}$}&\text{$-0+||-0+||-$}\\\hline\end{array}$

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy bất phương trình ban đầu đúng khi và chỉ khi: $\\$ $\left[\begin{matrix}\frac{1}{3}<x<1\\3<x<4\end{matrix}\right.\\$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình ban đầu là S = $(\frac{1}{3};1)\cup(3;4)$

$e) \frac{(3-2x)(x^{2}-x+1)}{4x^{2}-12x+9}>0(x\neq\frac{3}{2}) \\ \Leftrightarrow \frac{-(2x-3)(x^{2}-x+1)}{(2x-3)^{2}}>0 \\ \Leftrightarrow \frac{-(x^{2}-x+1)}{2x-3}>0 \\ \Leftrightarrow 2x-3<0$ (Dễ dàng chứng minh $-(x^{2} -x + 1) <0;\forall x$) $\\$ $\Leftrightarrow x<\frac{3}{2} \\$ Vậy tập nghiệp của bất phương trình trên là S = $(-\infty;\frac{3}{2})$

$f) \frac{x^{2}-3x+1}{x^{2}-1}> 1(x \neq \pm 1) \\ \Leftrightarrow \frac{x^{2}-3x+1}{x^{2}-1}-\frac{x^{2}-1}{x^{2}-1}>1-1 \\ \Leftrightarrow \frac{-3x+2}{x^{2}-1}>0 \\$ Nghiệm của tử: $-3x+2=0\\ \Leftrightarrow x=\frac{2}{3}\\$ Nghiệm của mẫu: $x^{2}-1=0 \\ \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\\$ Lập bảng xét dấu:

$\begin{array}{|c|c|}\hline\text{$x$}&\text{$-\infty \ \ \ \ -1 \ \ \ \ \frac{2}{3} \ \ \ \ 1 \ \ \ +\infty$}\\\hline\text{$-3x+2$}&\text{$+ \ \ \ \ |+ \ 0-| \ -$}\\\hline\text{$x^{2}-1$}&\text{$+ \ \ \ 0-|-0\ +$}\\\hline\text{$\frac{-3x+2}{x^{2}-1}$}&\text{$+ \ \ ||-0+|| \ -$}\\\hline\end{array}$

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy bất phương trình ban đầu đúng khi và chỉ khi: $\\$ $\left[\begin{matrix}x<-1\\ \frac{2}{3}<x<1\end{matrix}\right.\\$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình ban đầu là S = $(-\infty;-1)\cup(\frac{2}{3};1)\\$ $\text{Chúc bạn học tốt!}$