a) Ta có:

$AI = IC=\dfrac12AC\quad (gt)$

$OA = OC = R$

$\Rightarrow OI$ là trung trực của $AC$

$M\in OI$

$\Rightarrow MA = MC$

Xét $∆MAO$ và $∆MCO$ có:

$OA = OC = R$

$MA = MC \quad (cmt)$

$OM:$ cạnh chung

Do đó $∆MAO=∆MCO\, (c.c.c)$

$\Rightarrow \widehat{MCO}=\widehat{MAO}=90^o$

$\Rightarrow OC\perp MC$

$\Rightarrow MC$ là tiếp tuyến của $(O)$

b) Ta có:

$AI = IC =\dfrac12AC\quad (gt)$

$AO = OB = \dfrac12AB = R$

$\Rightarrow OI//BC$ (đường trung bình)

$\Rightarrow \widehat{IOA}=\widehat{MAO}=\widehat{CBA}$

Xét $∆MAO$ và $∆ACB$ có:

$\widehat{MAO}=\widehat{CBA}\quad (cmt)$

$\widehat{M}=\widehat{A}=90^o$

Do đó $∆MAO\sim ∆ACB\, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{MA^2}{AC^2}=\dfrac{OA^2}{BC^2}$

$\Rightarrow \dfrac{MA^2}{OA^2}=\dfrac{AC^2}{BC^2}$

$\Rightarrow \dfrac{MI.MO}{OI.MO}=\dfrac{AH^2.AB}{HB^2.AB}$ (hệ thức lượng)

$\Rightarrow \dfrac{MI}{OI}=\dfrac{AH}{HB}$

Ta lại có:

$CH//MA\quad (\perp AB)$

$\Rightarrow \dfrac{MK}{KB}=\dfrac{AH}{HB}$ (định lý $Thales$)

Do đó:

$\dfrac{MI}{OI}=\dfrac{MK}{KB}$

$\Rightarrow IK//OB$ (định lý $Thales$ đảo)

$\Rightarrow IK//AB$

c) Ta có:

$P_{ABC}=AC + BC + AB$

$\to P_{ABC} \leq \sqrt{(1^2 +1^2)(AC^2 + BC^2)} + AB$

$\to P_{ABC} \leq \sqrt2AB + AB$

$\to P_{ABC}\leq (1+\sqrt2)AB$

Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow AC = BC$

$\Leftrightarrow C$ là điểm chính giữa nửa đường tròn 

Đáp án:

Giải thích các bước giải: