$(O)$ và $(O')$ tiếp xúc ngoài tại $A$

$\Rightarrow A\in OO'$

a) Ta có:

$OD//O'E\quad (\perp DE)$

$\Rightarrow \widehat{AOD} + \widehat{AOE} = 180^o$ (trong cùng phía)

$ΔOAD$ cân tại $O\quad (OA = OD = R)$

$\Rightarrow \widehat{OAD} = \dfrac{180^o - \widehat{AOD}}{2}$

$ΔO'AE$ cân tại $O' \quad (O'A = O'E = R')$

$\Rightarrow \widehat{O'AE} = \dfrac{180^o - \widehat{AO'E}}{2}$

Ta được:

$\widehat{OAD} + \widehat{O'AE} = \dfrac{360^o - (\widehat{OAD} + \widehat{OAE})}{2}$

$\Rightarrow \widehat{OAD} + \widehat{O'AE} = \dfrac{360^o - 180^o}{2} = 90^o$

$\Rightarrow \widehat{DAE} = 180^o - (\widehat{OAD} + \widehat{O'AE}) = 90^o$

b) Ta có: $\widehat{ADB} =90^o$ (nhìn đường kính $AB$ của $(O)$)

$\widehat{AEC} = 90^o$ (nhìn đường kính $AC$ cùa $(O')$)

$\Rightarrow \widehat{MDA} = \widehat{MEA} = 90^o$

Xét tứ giác $ADME$ có:

$\widehat{DAE} = \widehat{MDA} = \widehat{MEA} = 90^o$

Do đó $ADME$ là hình chữ nhật

c) Ta có:

$ADME$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow \widehat{MAD} = \widehat{ADE}$

mà $\widehat{ADE} = \widehat{ADB}$ (cùng chắn $\mathop{AD}\limits^{\displaystyle\frown}$)

nên $\widehat{MAD} = \widehat{ADB}$

Ta lại có:

$\widehat{ADB} + \widehat{DAB} = 90^o$

$\Rightarrow \widehat{MAD} + \widehat{DAB} = \widehat{MAB} = 90^o$

$\Rightarrow MA\perp AB$

$\Rightarrow MA\perp OO'$

$\Rightarrow MA$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn

Đáp án + giải thích các bước giải:

a) Kẻ tiếp tuyến chung tại `A` của hai đường tròn, cắt `DE` tại `F`

`-> FD=FA=FE`

`-> F` là trung điểm `DE` và `ΔADE` có `AF` là đường trung tuyến bằng nửa cạnh huyền

`-> ΔADE` là tam giác vuông tại `A`

`-> \hat{DAE}=90^0`

b) Ta có:

`D∈(O),A∈(O)`

`->OD=OA`

`->ΔODA` cân tại `O`

`->\hat{ODA}=\hat{OAD}`

Chứng minh tương tự:

`\hat{O'EC}=\hat{O'CE}`

Lại có:

`OD////O'E (`cùng `⊥DE)`

`->\hat{DOA}=\hat{EO'C}`

`->180^0-\hat{DOA}=180^0-\hat{EO'C}`

`->\hat{ODA}+\hat{OAD}=\hat{O'EC}+\hat{O'CE}`

`->2\hat{OAD}=2\hat{O'CE}`

`->\hat{OAD}=\hat{O'CE}`

`->DA////EC`

`->DA////ME`

Chứng minh tương tự:

`DM////AE`

`->DMAE` là hình bình hành

mà `\hat{DAE}=90^0`

`->DMAE` là hình chữ nhật

c) `DMAE` là hình chữ nhật

`->MA` và `DE` cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

mà `F` là trung điểm `DE`

`-> F` là trung điểm `MA`

`-> F,M,A` thẳng hành

mà `AF` là tiếp tuyến chung hai đường tròn

`-> AM` là tiếp tuyến chung hai đường tròn