Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to AB=AC\to \Delta ABC$ cân tại $A$

Mà $AB\perp BO\to \sin\widehat{BAO}=\dfrac{BO}{AO}=\dfrac12\to \widehat{BAO}=30^o$

$\to \widehat{BAC}=2\widehat{BAO}=60^o$

$\to\Delta ABC$ đều

Lại có: $AB=\sqrt{AO^2-BO^2}=R\sqrt{3}$

b. Ta có: $OK\perp OB\to OK//AB$

$\to \widehat{OKC}=\widehat{BAC}=60^o$

Mà $\widehat{KAO}+\widehat{KOA}=\widehat{AKO}$

$\to \widehat{AOK}=\widehat{OKC}-\widehat{KAO}=60^o-30^o=30^o$

$\to\Delta AKO$ cân tại $K$

c.Vì $\Delta AKO$ cân tại $K, I$ là trung điểm $AO$

$\to KI\perp AO$

Mà $AO=2R\to 2OI=2R\to OI=R\to I\in (O)$

$\to KI$ là tiếp tuyến của $(O)$

Ta có: $\widehat{IKO}=\widehat{AOK}=30^o$

$\to \tan\widehat{IOK}=\dfrac{KI}{IO}$

$\to \tan30^o=\dfrac{KI}{IO}$

$\to KI=IO\tan30^o=\dfrac{R\sqrt{3}}{3}$

d.Ta có: $\widehat{BOC}=360^o-\widehat{BAC}-\widehat{ABO}-\widehat{ACO}=120^o$

$\to \widehat{BDC}=\dfrac12\widehat{BOC}=60^o$

Mà $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to AO$ là trung trực của $BC$

      $D\in AO\to DB=DC\to\Delta DBC$ cân tại $O$

$\to \Delta DBC$ đều

$\to DB=DC=BC=AB=AC$

$\to ABDC$ là hình thoi