Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $M,P$ là trung điểm $AB,AD$

$\to MP$ là đường trung bình $\Delta ABD$

$\to MP//BD, MP=\dfrac12BD$

Mà $N$ là trung điểm $BD\to MP//BN, MP=BN$

$\to MPNB$ là hình bình hành

Mặt khác $MP//ND, MP=\dfrac12BD=ND\to MPDN$ là hình bình hành

Ta có: $ABCD$ là hình chữ nhật $\to S_{ABD}=S_{BCD}$

$\to \dfrac12AH.BD=\dfrac12CK.BD\to AH=CK$

Mà $AH\perp BD, CK\perp DB\to AH//CK$

$\to AHCK$ là hình bình hành

b.Ta có $M,N, P$ là trung điểm $ AB, BD, AD$

$\to MN, NP$ là đường trung bình $\Delta ABD$

$\to MN//AD, NP//AB$

$\to MN\perp AB, NP\perp AD$

Mà $AB\perp AD\to AMNP$ là hình chữ nhật

Tương tự $MNEB$ là hình chữ nhật

c.Ta có $MP//BD\to MP//HN$

$\to PMNH$ là hình thang

Lại có: $\Delta AHD$ vuông tại $H, P$ là trung điểm $AD\to PA=PD=PH\to\Delta PHD$ cân tại $P$

Mà $\widehat{MPH}=\widehat{PHD}=\widehat{PDH}=\widehat{ADB}=\widehat{MNB}=\widehat{PMN}$

$\to MNHP$ là hình thang cân

d.Ta có: $NP\perp AD, NE\perp BC\to NE\perp AD$ vì $AD//BC$

$\to P, N,E$ thẳng hàng

$\to PE//AB$ vì $PN//AB$

$\to MN\perp PE$ vì $MN\perp AB$

Lại có: $NP=\dfrac12AB=\dfrac12CD=NE$

$\to N$ là trung điểm $PE$

$\to MN\perp PE=N$ là trung điểm $PE$

$\to\Delta MPE$ cân tại $M$