Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Ta đặt $A = n(n-1)(2n-1)$

Ta thấy $n(n-1)$ là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp, suy ra phải có một trong 2 số đó là số chẵn. Vậy $n(n-1)$ là số chẵn. Vậy $A$ là số chẵn, do đó chia hết cho 2.

Bây h ta sẽ chứng minh $A$ chia hết cho 3.

TH1: $n$ chia hết cho $3$

Khi đó do $A$ là tích của $n$ với $(n-1)(2n-1)$ nên $A$ cũng chia hết cho $3$.

TH2: $n$ chia 3 dư 1

Khi đó ta có $n - 1$ chia hết cho $3$. Mặt khác, $A$ là tích của $(n-1)$ với $n(2n-1)$. Suy ra $A$ chia hết cho $3$.

TH3: $n$ chia 3 dư 2

Khi đó ta có $n = 3k + 2$ với $k \in \mathbb{N}$. Khi đó ta có

$2n - 1 = 2(3k+ 2) - 1 = 6k + 4 -1 = 6k + 3 = 3(2k+1)$

Vậy $2n-1$ chia hết cho $3$. Lại có $A$ là tích của $2n-1$ với $n(n-1)$. Do đó $A$ chia hết cho 3.

Vậy với mọi $n$ là số tự nhiên, $A$ chia hết cho $2$ và $3$.

Bài 5 :

Ta có :

n( n- 1 ) ( 2n - 1 )

= n( n - 1 ) ( 2n - 4 + 3 )

= n( n - 1 ) ( 2n - 4 ) + 3n ( n - 1 )

= 2n ( n - 1 ) ( n - 2 ) + 3n ( n - 1 )

 Do n ∈ N → n , n - 1 , n - 3 là 3 số nguyên liên tiếp

⇒ n( n - 1 ) ⁝ 2 , ∀n ∈ N và n( n - 1 ) ( n - 2 ) ⁝ 3 , ∀n ∈ N

⇒ 3n ( n - 1 ) , 2n ( n - 1 ) ( n - 2 ) chia hết cho cả 2 và 3 

Hayn( n -1 ) ( 2n - 1 ) chia hết cho cả 2 và 3 .