a, Xét ΔABC và ΔHBA ta có:

$\widehat{B}$ chung

$\widehat{BAC}$ = $\widehat{BHA}$ = $90^{0}$ 

⇒ ΔABC $\backsim$ ΔHBA [g - g]

b, Có ΔABC $\backsim$ ΔHBA [cmt]

⇒ $\frac{AB}{BC}$ = $\frac{BH}{AB}$ [Tính chất ở hai tam giác đồng dạng]

hay AB² = BH.BC

Thay BC = 5cm; AB = 3cm

Ta có: 3² = BH.5

⇔ BH = $\frac{9}{5}$ cm

c, Áp dụng đính lý Py-ta-go vào ΔABC vuông tại A

⇒ BC² = AC² + AB²

⇒ AC² = BC² - AB²

Thay BC = 5cm; AB = 3cm

⇒ AC² = 5² - 3²

⇒ AC² = 16

⇒ AC = 4cm

Xét ΔABC có AM là tia phân giác:

⇒ $\frac{AB}{AC}$ = $\frac{MB}{MC}$ [Tính chất đường phân giác trong tam giác]

Thay AB = 3cm; AC = 4cm

MB = BC - MC = 5 - MC cm

Ta có: $\frac{3}{4}$ = $\frac{5-MC}{MC}$

⇔ 3.MC = 4. (5 - MC) 

⇔ 3MC = 20 - 4MC

⇔ 3MC + 4MC = 20

⇔ 7MC = 20

⇔ MC = $\frac{20}{7}$ cm

Lại có: HM = BC - MC - BH

⇔ HM = 5 - $\frac{20}{7}$ - $\frac{9}{5}$

⇔ HM = $\frac{12}{35}$ cm

Áp dụng định lý Py-ta-go vào ΔABH vuông tại H

⇒ AB² = HB² + HA²

⇒ AH² = AB² - HB²

Thay AB = 3cm; BH = $\frac{9}{5}$

⇒ AH² = 9 - $\frac{81}{25}$ 

⇒ AH² = $\frac{144}{25}$ 

⇒ AH = $\frac{12}{5}$ cm

Lại áp dụng định lý Py-ta-go vào ΔAHM vuông tại H

⇒ AM² = HA² + HM²

Thay HA = $\frac{12}{5}$; HM = $\frac{12}{35}$

⇒ AM² = $\frac{144}{25}$  + $\frac{144}{1225}$ 

⇒ AM² = $\frac{288}{49}$ 

⇒ AM = $\frac{12\sqrt[]{2}}{7}$ = 2,42cm

Bạn tham khảo, có sai sót mong giúp đỡ

Giải thích các bước giải:

`a)`

Xét `ΔABC` và `ΔHBA` có :

`hat{B}` chung

`hat{BAC}=hat{BHA}=90^o`

`⇒` `ΔABC`$\backsim$`ΔHBA(g-g)`

`b)`

Ta có :

`ΔABC`$\backsim$`ΔHBA(g-g)(cmt)`

`⇒` `(AB)/(BC)=(BH)/(AB)⇔AB^2=BH.BC`

`⇒` `3^2=BH.5`

`⇒` `BH=3^2:5`

`⇒` `BH=1,8cm`

`c)` 

Mình không biết chứng minh được xin lỗi bạn