Ta có `hat (NPT) + hat (SPQ) = 90^o` (gt)

Lại có `hat (NPT) = hat (PQS) = 1/2` $\mathop{PS}\limits^{\displaystyle\frown}$

 `=> hat(PQS) + hat (SPQ) = 90^o`

Hay `hat (PSQ) = 90^o`

Xét tam giác `PTQ` có `QS` và `PM` là đường cao

`=> I` là trực tâm của tam giác `PTQ`

`=> TH` là đường cao thứ 3 đi qua trực tâm `I`

`=> NP //// TH`

`=> hat (NPT) = hat (PTH)` (so le trong)

Mà `hat (NPT) = hat (PQS)` (chứng minh trên)

`=> hat (PQS) = hat (PTH) \qquad \qquad \qquad (1)`

Ta có `hat (PTH) + hat (TPH) = 90^o`

`hat (TPM) + hat (PTM) = 90^o`

Mặc khác `hat (PTH) = hat (TPM) \qquad (= hat (NPT))`

`=> hat (PTM) = hat (TPM)`

Xét tam giác `PTQ` có `hat (PTM) = hat (TPM)`

`=> ΔPTQ` cân tại `Q`

Lại có `QS` là đường cao nên đồng thời là phân giác của góc `PQT`

`=> hat (PQS) = hat (TQS) \qquad \qquad \qquad (2)`

Từ (1) và (2) `=> hat (PTH) = hat (TQS)` (đpcm)

`\qquad`

`\qquad`

`\qquad`

`\qquad`

Mình mới học viết latex nên chưa sỏi và mất nhiều thời gian, mong bạn thông cảm.