Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\Delta AHC$ vuông tại $H$

$\to \tan\widehat{ACH}=\tan\widehat{ACB}=\dfrac34$

$\to \dfrac{AH}{CH}=\dfrac34$

$\to AH=\dfrac34CH$

Mà $HC-HA=4$

$\to HC-\dfrac34HC=4\to \dfrac14HC=4\to HC=16\to HA=20$

$\to AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=4\sqrt{41}$

Mà $\tan \widehat{ACB}=\dfrac34\to \dfrac{AB}{AC}=\dfrac34$

$\to AB=\dfrac34AC\to AB=3\sqrt{41}$

b.Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A,  AH\perp BC$

$\to AH^2=HB.HC$ (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mà $HE\perp AB\to AH.HB=HE.AB(=2S_{AHB})$

Tương tự $HF.AC=AH.HC$

Ta có:

$2S_{ABC}=AB.AC$

$\to 2S_{ABC}=\dfrac{AB.AC.HE.HF}{HE.HF}$

$\to 2S_{ABC}=\dfrac{(AB.HE).(AC.HF)}{HE.HF}$

$\to 2S_{ABC}=\dfrac{(AH.HB).(AH.HC)}{HE.HF}$

$\to 2S_{ABC}=\dfrac{AH^2.(HB.HC)}{HE.HF}$

$\to 2S_{ABC}=\dfrac{AH^2.AH^2}{HE.HF}$

$\to 2S_{ABC}=\dfrac{AH^4}{HE.HF}$

c.Gọi $AM\cap EF=D$

Vì $HE\perp AB,HF\perp AC, AB\perp AC\to AEHF$ là hình chữ nhật

Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A,M$ là trung điểm $BC$

$\to \widehat{DAF}=\widehat{MAC}=\widehat{MCA}=\widehat{HCA}=90^o-\widehat{HAC}=\widehat{BAH}=\widehat{EAH}=\widehat{AEF}$

$\to AD\perp EF\to AM\perp EF$

d.Ta có: $\widehat{AEF}=\widehat{ACB}(cmt),\widehat{EAF}=\widehat{BAC}$

$\to \Delta AEF\sim\Delta ACB(g.g)$

$\to \dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=(\dfrac{EF}{BC})^2=(\dfrac{AH}{CB})^2\le (\dfrac{AM}{BC})^2=\dfrac14$

$\to S_{AEF}\le \dfrac14S_{ABC}$

$\to S_{AEHF}=2S_{AEF}\le\dfrac12S_{ABC}$

Dấu = xảy ra khi $M\equiv H\to AM\perp BC\to\Delta ABC$ vuông cân tại $A$