a) Xét ΔABC có:

BE,CF là đường cao

BE∩CF={H}

⇒H là trực tâm ΔABC

⇒AH⊥BC

Ta có: CH//BD (cùng⊥AB)

          BH//CD (cùng⊥AC)

⇒BHCD là hình bình hành

b) Ta có: Hình bình hành BHCD có: M là trung điểm của BC

⇒M cũng là trung điểm của HD

Do đó: H,M,D thẳng hàng

ΔBFC vuông tại F, có FM là trung tuyến

⇒FM=$\frac{1}{2}$ BC(1)

ΔBEC vuông tại E, có EM là trung tuyến

⇒EM=$\frac{1}{2}$ BC (2)

Từ (1)(2) ⇒ FM=FE

              ⇒ΔEFM cân tại M

c) Ta có: H và K đối xứng qua BC

⇒BC là đường trung trực của HK

⇒CH=CK

CH=BD(BHCK là hình bình hành)

Nên CK=BD

d) ΔAHD có: M là trung điểm của HD

                    ML//AM (cùng⊥BC)

⇒L là trung điểm AD

⇒ML là đường trung bình của ΔAHD

⇒ML=$\frac{1}{2}$ AH (2)

⇒AM=2ML

Giải thích các bước giải:

a.Ta có $BE\perp AC, CF\perp AB, CF\cap  BE=H$

$\to H$ là trực tâm $\Delta ABC\to AH\perp BC$

Ta có $BD\perp AB\to BD//CH, CD\perp AC\to CD//BH$

$\to BHCD$ là hình bình hành

b.Vì $BHCD$ là hình bình hành

$\to HD\cap BC$ tại trung điểm mỗi đường

Mà $M$ là trung điểm $BC$

$\to M$ là trung điểm $HD$

$\to H,M,D$ thẳng hàng

Ta có: $\Delta EBC,\Delta FBC$ vuông tại $E,F$ và $ M$ là trung điểm $BC$ 

$\to FM=MB=MC=ME$

$\to \Delta EMF$ cân tại $M$

c.Ta có $BHCD$ là hình bình hành

$\to CH=BD$

Mà $H,K$ đối xứng qua $BC\to CH=CK$

$\to BD=CK$

d.Ta có $LM\perp BC\to ML//AH$

Mà $M$ là trung điểm $HD$

$\to LM$ là đường trung bình $\Delta AHD$

$\to AH=2LM$