Sửa đề:

- Trên tia đối của tia $DH$ lấy điểm $E$ sao cho $DH = DE$

- Chứng minh tứ giác $ADHC$ là hình thang

a) Ta có: $ΔABC$ cân tại $A$, đường cao $AH$

$\Rightarrow AH$ là trung tuyến

$\Rightarrow BH = HC = \dfrac12BC$

Ta lại có: $AD = DB = \dfrac12AB \quad (gt)$

$\Rightarrow DH$ là đường trung bình của $ΔABC$

$\Rightarrow DH//AC;\,\,DH =\dfrac12AC$

Xét tứ giác $ADHC$ có:

$DH//AC\quad (cmt)$

Do đó $ADHC$ là hình thang

b) Xét tứ giác $AEBH$ có:

$AD = DB = \dfrac12AB\quad (gt)$

$ED = DH = \dfrac12EH \quad (gt)$

Do đó $AEBH$ là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết thứ 5)

Ta lại có: $\widehat{H} = 90^o \quad (AH\perp BC)$

$\Rightarrow AEBH$ là hình chữ nhật

c) Xét $ΔABC$ có:

$AH$ là trung tuyến

$CD$ là trung tuyến $(AD = DB)$

$AH\cap CD = \left\{G\right\} \quad (gt)$

$\Rightarrow G$ là trọng tâm

$\Rightarrow BF$ là trung tuyến

$\Rightarrow AF = FC = \dfrac12AC$

Ta lại có:

$DH//AC;\, DH = \dfrac12AC$

$ED = DH =\dfrac12EH$

$\Rightarrow ED//FC;\, ED = FC$

$\Rightarrow EDCF$ là hình bình hành

$\Rightarrow EF//CD$

$\Rightarrow EF//CG$